Sistema de equações logarítmicas

por DiegodaSilvaFerrreira Qui 03 Jan 2013, 23:26

Há alguma forma de resolver o sistema sem chegar em uma equação do 3º grau ?:

- _
-|
-| log(x + y)base(0,25) = -1
<
-| 2 * log(x)base(2) + log(y)base(2) = 3
-|_

Há um método geral para problemas desse tipo? mais uma coisa, sou novo por aqui e gostaria de saber também se posso postar também mais de uma dúvida por post?

por **LPavaNNN** Qui 03 Jan 2013, 23:44

Comecei resolver, e tbm cheguei ao 3º grau, acredito que n tenha não.

E não, cada questão, é um tópico diferente.

por Rafael113 Qui 03 Jan 2013, 23:52

4= x+y -> x= 4-y
8 = x²y
8= (16+y²-8y)y
y³-8y²+16y-8=0

Percebe-se que 2 é raiz. Reduzindo o grau:

2 | 1 | -8 | 16 | -8
| 1 | -6 | 4 | 0
y²-6y+4=0
y= 6+-2sqrt5/2
y=3+sqrt5 ou y = 3-sqrt5

(I) y= 2 -> x=2
(II) y=3+sqrt5 -> x= 1-sqrt 5
Como 1-sqrt5 é negativo, a solução (II) não convém.
(III) y = 3-sqrt5 -> x = 1+sqrt5

S= {2,2} ou {1+sqrt5,3-sqrt5)

por Igor Bragaia Sex 04 Jan 2013, 00:01

Primeiramente, poste uma questão por post para evitar problemas.
O método geral da resolução deste problema é aplicar as propriedades dos logaritmos no sistema e tirar os logs, chegando assim em uma equação comum. Aí é só resolver e encontrar os valores de x e y, atendendo as condições de existência dos logaritmos.

A resolução do problema:

$\log_{\frac{1}{4}}\left ( x+y \right )=-1 \Leftrightarrow -\frac{1}{2}\log_{2}(x+y)=1 \Leftrightarrow 4=x+y \Leftrightarrow y=4-x \\ 2\log_{2}x + \log_{2}y=3\Leftrightarrow \log_{2}x^2y=3\Leftrightarrow x^2y=8 \\ \\ \rightarrow x^2(4-x)=8 \Leftrightarrow -x^3+4x^2-8=0 \\ \\ \text{O polinômio } -x^3+4x^2-8=0 \text{ admite raiz 2. Aplicando Briott-Ruffini, temos que: } \\ -x^3+4x^2-8=0 \Rightarrow (x-2)(-x^2+2x+4)=0 \\ \Rightarrow \text{ Atendendo as C.E. dos logs, } x>0 \Rightarrow x=2 \text{ ou } x =1+\sqrt 5 \\ x=2 \Rightarrow y=2 \text{ ou } x=1+\sqrt 5 \Rightarrow y= 3-\sqrt 5 \therefore S=\left \{ (2,2),\left ( 1+\sqrt 5,3-\sqrt5 \right ) \right \}$

Você tem o gabarito? Sempre que tiver, poste-o

[edit] Estava digitando enquanto o Rafael postara sua resolução

por **Jose Carlos** Sex 04 Jan 2013, 00:26

Olá Diego,

Agradecemos sua participação, ela será sempre importante para todos. Conforme já alertado pelo LPavaNNN devemos postar apenas uma questão por tópico. Para um melhor conhecimentos das regras do Fórum solicitamos que leia os Regulamentos do Fórum.

https://pir2.forumeiros.com/Regulamentos-h26.htm

Obrigado.