Geometria Plana.

por felipenewton01 Sáb 22 Dez 2012, 12:04

No triangulo ABC , tem-se ∠ B = 2∠ C e a bissetriz interna traçada a partir do vértice A interna BC em um ponto D tal que AB=CD. O valor do angulo ∠ A é :

a)30º
b)36º
c)48º
d)60º
e)72º

não tenho resposta!

por **raimundo pereira** Sáb 22 Dez 2012, 16:34

Felipe empaquei aqui - me ajuda aí o meo .

por **raimundo pereira** Sáb 22 Dez 2012, 16:41

Traçando ED paralela a AB , AE paralela a BD e EC paralela a AD você forma o triângulo DEC ( isósceles) congruente com o triângulo ABC e ângulo do vértice 2x e ângulos da base y, só que pelo enunciado ^C=x ... aí ????

por felipenewton01 Sáb 22 Dez 2012, 17:01

É eu fiz isso tudo que você fez e não saiu mais nada !!!
e ainda tentei traçar varias retas e mesmo assim empacou!

por **parofi** Sáb 22 Dez 2012, 22:05

Olá:
Aproveitando as letras do desenho do raimundo e fazendo z=AB=CD, vem:
(I) Pelo Teorema da bissetriz: z/BD=AC/z⇔ z^2=AC.BD
(II)Pela Lei dos senos: AC/sen(2x)=z/senx⇔ AC=2zcosx
(III) Pela lei dos senos (no triângulo ABD): z/sen(180-(2x+y))=BD/seny⇔ z/sen(2x+y)=BD/seny⇔ BD=zseny/sen(2x+y). Como 3x+2y=180º, então 2x+y=180º-(x+y) e sen(2x+y)=sen(x+y). Então, BD=zseny/sen(x+y).

De (I),(II) e (III), vem z^2=2zcosx.zseny/sen(x+y)⇔ 1=2cosxseny/sen(x+y)⇔ sen(x+y)=2cosxseny⇔ senxcosy+senycosx=2cosxseny⇔ senxcosy-senycosx=0⇔ sen(x-y)=0⇔ x=y.

Logo, como 3x+2y=180º, vem 5y=180º⇔ y=36º. Assim, A=2y=72º (opção (e)):
Talvez haja uma forma mais simples de resolver.
Um abraço.