Triângulo inclinado em relação a um plano

Um triângulo ABC está inclinado em relação a um plano α, e as distâncias entre os vértices A, B e C e o plano são, respectivamente, de 3cm, 5cm e 7cm. Qual a distância entre o baricentro do triângulo e o plano? Obs.: o baricentro de um triângulo é o ponto de encontro de suas medianas.

A) 4,5cm
B) 5,0cm
C) 5,5cm
D) 6,0cm
E) 6,5cm

Olá,

seja O o baricentro do triângulo.

A distância de O ao plano será dada por:

( 3 + 5 + 7 )/3 = 5 cm.


Um abraço.

Alguém pode explicar melhor essa questão? Segue a imagem

Natan

considerando o plano alfa como nível zero, o que nos interessa são somente as cotas e as anotei acima de cada ponto.
R, S e T são os pontos médios dos lados do triângulo ABC, as medianas estão em azul e o baricentro G em vermelho.



As cotas dos pontos médios serão:
R = (B + C)/2 = (5 + 7)/2 ----> R = 6
S = (A + C)/2 = (3 + 7)/2 ----> S = 5
T = (A + B)/2 = (3 + 5)/2 ----> T = 4

Como o baricentro divide a mediana na razão 2:1 a partir do vértice, ou seja, a distância do ponto médio até G é 1/3 da medida da respectiva mediana,

GA = (2/3).RA = (2/3).(6 - 3) = 2 -----> G = A + GA = 3 + 2 -----> G = 5
ou
RG = (1/3).RA = (1/3).(6 - 3) = 1 -----> G = R - RG = 6 - 1 -----> G = 5

poderia fazer a mesma conta e com o mesmo resultado (faça como exercício) para as medianas SB e TC. Inclusive você notará que os pontos B e S têm mesma cota (5) e portanto a cota de G também será 5 (nem precisava fazer qualquer conta, né?

No entanto, para você finalmente entender o raciocínio do colega José Carlos acima, vamos juntar todas as partes vistas até agora.

Medeiros escreveu:Natan

considerando o plano alfa como nível zero, o que nos interessa são somente as cotas e as anotei acima de cada ponto.
R, S e T são os pontos médios dos lados do triângulo ABC, as medianas estão em azul e o baricentro G em vermelho.



As cotas dos pontos médios serão:
R = (B + C)/2 = (5 + 7)/2 ----> R = 6
S = (A + C)/2 = (3 + 7)/2 ----> S = 5
T = (A + B)/2 = (3 + 5)/2 ----> T = 4

Como o baricentro divide a mediana na razão 2:1 a partir do vértice, ou seja, a distância do ponto médio até G é 1/3 da medida da respectiva mediana,

Tenha em mente que estamos trabalhando com as cotas dos pontos. Pelo teorema de Thales
a relação entre dois pontos do triângulo, por exemplo R e G, também se mantém entre suas cotas -- claro
que estas tomadas em relação à cota do ponto mais baixo.

GA = (2/3).RA = (2/3).(6 - 3) = 2 -----> G = A + GA = 3 + 2 -----> G = 5
ou
RG = (1/3).RA = (1/3).(6 - 3) = 1 -----> G = R - RG = 6 - 1 -----> G = 5

poderia fazer a mesma conta e com o mesmo resultado (faça como exercício) para as medianas SB e TC. Inclusive você notará que os pontos B e S têm mesma cota (5) e portanto a cota de G também será 5 (nem precisava fazer qualquer conta, né?

No entanto, para você finalmente entender o raciocínio do colega José Carlos acima, vamos juntar todas as partes vistas até agora.

[latex]\\R = \frac{B+C}{2}\\\\ GA=\frac{2}{3}\cdot RA \,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, GA=\frac{2}{3}\cdot\left(R-A \right ) \,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, GA=\frac{2}{3}\cdot R-\frac{2}{2}\cdot A\\\\ G=A+GA\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,G=A+\frac{2}{3}\cdot R-\frac{2}{3}\cdot A \,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\, G=\frac{A}{3}+\frac{2}{3}\cdot R\\\\ \text{e finalmente}\\\\ G=\frac{A}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{B+C}{2}\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\boxed{\,\,G=\frac{A+B+C}{3}\,\,}[/latex]

Muito bom !!! Obrigado pela ajuda e por toda essa resolução.