Conicas

Calcule a area do triangulo formado pelas retas x = 1 e y = 2 e a tangente à elipse x² + 4y² - 2x - 16y + 13 = 0 no ponto( 2 , (4 + √3)/2)



resposta = 4√3/3

x² + 4y² - 2x - 16y + 13 = 0 ----> (x - 1)²/2² + (y - 2)²/1² = 1

Elipse com centro C(1, 2), e semi-eixos a = 2, b = 1 ----> Vértices (3, 2), (-1, 2), (1, 1) e (1, 3)

Faça um desenho, num sistema xOy da elipse e das duas retas

Note que o centro da elipse é o ponto de encontro das retas x = 1 e y = 2

Reta que passa por P(2. 2+√3/2) e coeficiente angular m ----> y - (2 + √3)/2) = m*(x - 2)

Substitua y na equação da elipse e chegue numa equação do 2º grau

Para a reta ser tangente ∆ = 0 ----> Calcule ∆ = b² - 4ac (em função de m), iguale a zero e calcule m

Tem-se finalmente a equação da reta y = mx + n ----> Encontre o ponto de encontro dela com as dus retas obtendo-se um triângulo retângulo cuja área é fácil de achar

Pronto !!!

Essa questão poderia ser resolvida com derivada ?