Mostre que o polinômio não possui raízes reais

por **aryleudo** Ter 27 Nov 2012, 14:40

Mostre que se, n é par, então o polinômio p(x) = xⁿ + x^{n - 1} + ... + x + 1 não possui raízes reais.

OBS.:
Demonstre utilizando artifícios de números complexos!

por **denisrocha** Ter 27 Nov 2012, 15:14

não aprendi complexos ainda, mas fica uma possível solução sem o uso deles:

Spoiler:

por **aryleudo** Ter 27 Nov 2012, 15:41

Olá denisrocha.

Sua solução é perfeitamente aceitável. Tinha me equivocado em expressão que deveria ser respondido com raciocíno nos complexos.

Muito obrigado pela ajuda!

Só uma observação:

"Sn = (x^{n + 1} - 1)/(x - 1)" e não "Sn = (xⁿ - 1)/(x - 1)" como o colega sugere.

O que acha?

por **denisrocha** Ter 27 Nov 2012, 15:55

estou confuso hehe: de Sn = a_1(qⁿ - 1)/(q - 1) com a_1 = 1 e q = x, não ficaria xⁿ mesmo?

por aprentice Ter 27 Nov 2012, 17:30

Não, já que x^0 = 1 e de 0 a n existem n+1 termos.
Note também que se fosse x^n - 1 teriamos a divisão de um polinomio de grau n por um polinomio de grau 1.Veja que o polinomio é de grau n e o resultado dessa divisão não.