Raízes Reais de um Polinômio

por ∑davigole Dom 17 Mar 2024, 11:52

(FME) O polinômio [latex]p(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f[/latex] é divisível por [latex]g_1(x) = -2x^2 + \sqrt 5 x[/latex] e por [latex]g_2(x) = x^2 - x - 2[/latex]. Quantas raízes reais possui o polinômio p(x)?

Resposta:

por **Giovana Martins** Dom 17 Mar 2024, 12:07

Se P(x) é divisível por g₁(x), logo, as raízes de g₁(x) são raízes de P(x).

As raízes de g₁(x) são 0 e (√5)/2, que também são raízes de P(x)

Analogamente para g₂(x), - 1 e 2 são raízes de g₂(x) e P(x).

Portanto, já temos um total de 4 raízes reais em se tratando de P(x).

Agora vem a dúvida: a quinta raiz é real ou complexa?

Supondo que os coeficientes de P(x) sejam reais (isso não precisaria ser indicado no enunciado conforme eu indicarei abaixo. Vou supor isso apenas para eu poder enunciar o teorema adiante), podemos utilizar o Teorema das Raízes Complexas Conjugadas:

Se f(x) é um polinômio em uma variável com coeficientes reais e a + bi é uma raiz de f(x) com {a,b} ∈ ℝ, então seu complexo conjugado, isto é, a - bi é também uma raiz de f(x).

Note que P(x) é de grau 5, logo, ele só pode ter 5 raízes. Sabendo-se que P(x) já tem 4 raízes reais, a quinta raiz de P(x) pode ser complexa? Não, pois se ela for complexa o seu conjugado também é raiz de P(x) tendo em vista o Teorema das Raízes Complexas Conjugadas, o que nos daria um total de 6 raízes para um polinômio de grau 5, o que geraria uma incoerência. Aqui surge o motivo pelo qual o enunciado não precisaria indicar que os coeficientes de P(x) são reais.

Deste modo, a quinta raiz de P(x) é real de tal modo que P(x) tem 5 raízes reais.

por **Elcioschin** Dom 17 Mar 2024, 12:09

g1(x) = - 2.x² + √5.x = x.(√5 - 2.x) = x.(x - √5/2) --> raízes x = 0 e x = √5/2

g2(x) = x² - x - 2 ---> g2(x) = (x + 1).(x - 2) ---> raízes x = -1 e x = 2

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