número de raízes reais de um polinômio

por CristianoAntunes79 Qui 14 Nov 2013, 19:46

Se f : IR → IR é uma função, definida por f (x) = (x^3+2x)(x^4+x^2+1)(x^3+4x), então é CORRETO afirmar que a equação f (x) = 0 tem

A) exatamente duas raízes reais.
B) uma única raiz real.
C) dez raízes reais.
D) exatamente cinco raízes reais.

Eu peço, por favor, que alguém me ajude com esta questão. Passei o dia pesquisando e não encontrei algo que me fornecesse uma resolução satisfatória. tenho mais ou menos uma ideia de para onde vão os tiros, mas se alguém pudesse deitar luz sobre o assunto, ficaria extremamente agradecido.

por Lost619 Qui 14 Nov 2013, 20:48

Para f(x) = 0

(x³+ 2x) = 0

ou

(x⁴+ x²+1) = 0

ou

(x³+4x) = 0

Agora bastar achar as raízes dessas três equações e você encontrará a solução do problema

por CristianoAntunes79 Sáb 16 Nov 2013, 20:56

andei resolvendo as expressões e encontrei as seguintes raízes:

número de raízes reais de um polinômio Yj0j

Na equação do quarto grau encontrei apenas duas raízes; não sei se é possível simplificá-las mais e nem como faço para encontrar as outras duas... quanto ao zero, é uma raiz real, ou não? até onde cheguei as raízes satisfazem as equações, mas se eu estiver errado, por favor me corrijam, e me mostrem como encontrar as outras duas. a propósito, o gabarito diz que a resposta é b

por PedroCunha Sáb 16 Nov 2013, 21:21

Vou te dar umas dicas:

Veja:

Para a primeira:

x³ + 2x = 0
x * (x² + 2) = 0
x = 0 ou x = +- √ 2i

Para a segunda:

x³ + 4x = 0
x * (x² + 4) = 0
x = 0 ou x = +-2i

Para a terceira:

x^4 + x² + 1 = 0 --> Fazendo x² = y
y² + y + 1 = 0
y' = (-1 + √ 3i)/2
y'' = (-1 - √ 3i)/2

Vamos passar esses valores para a forma polar:

y' = -1/2 + √ 3/2 i
y' = 1 * (cos 2pi/3 + isen 2pi/3)

y'' = -1/2 - √ 3/2i
y'' = 1 * (cos 4pi/3 + isen 4pi/3)

Agora, sabemos que x²= y, ou seja: x = √ y

Calculando as raízes dos valores encontrados utilizando a segunda Lei de Moivre:

I) x = √ (cos 4pi/3 + isen 4pi/3)

Aplicando a 2ª Lei de Moivre:

x = cos([2pi/3]/n + kpi) + isen ([2pi/3]/n + kpi )

Para k = 0:

x = cos 2pi/6 + isen 2pi/6
x = cos 60 + isen 60
x = 1/2 + √ 3/2 i

Para k = 1:

x = cos [ (2pi/6) + pi] + isen [ (2pi/6) + pi ]
x = cos 4pi/3 + isen 4pi/3
x = -1/2 - √ 3/2 i

II) x = √ (cos 4pi/3 + isen 4pi/3)

Aplicando a 2ª Lei de Moivre:

x = cos([4pi/3]/n + kpi) + isen ([4pi/3]/n + kpi )

Para k = 0:

x = cos 4pi/6 + isen 4pi/6
x = -1/2 + √ 3/2 i

Para k = 1:

x = cos [ (4pi/6) + pi ] + isen [ (4pi/6) + pi]
x = cos 5pi/3 + isen 5pi/3
x = 1/2 - √ 3/2 i

Portanto, as soluções são:

(1/2 + √ 3/2 i, -1/2 - √ 3/2 i, -1/2 + √ 3/2 i, 1/2 - √ 3/2 i}

Veja que das três equações, a única solução real é o 0 .

Portanto, a resposta é a Letra B.

É isso.

Att.,
Pedro

¹Penso que seja isso, só não tenho certeza acerca da afirmação que fiz sobre o 0.