Geometria Plana - Circunferência

Cada uma das regiões sombreadas abaixo está compreendida entre semicircunferências cujos centros são colineares. As semicircunferências maiores têm raios de mesmo comprimento. Na região da figura I, as semicircunferências menores têm raio de mesmo comprimento e, na região da figura II, o raio de uma das semicircunferências internas é o dobro do raio da outra. Marque a opção correta:




a) A área da região da figura I é a mesma que a da região da figura II.
b) A área da região da figura I é menor que a da região da figura II.
c) O perímetro da região da figura I é o mesmo que o da região da figura II.
d) O perímetro da região da figura I é menor que o da região da figura II.
e) Nenhuma das respostas anteriores está correta.


Resposta: item c)

Faremos a área da figura 1

É a semicircunferência menos a área das duas semicircunferência menores não-destacadas .
∏R²/2 - 2. ∏(R/2)²/2
∏R²/2 - ∏R²/4 = ∏R²/4

Figura 2

De modo análogo , mas antes achemos o raio das semicircunferência não destacadas
r' é o raio da semicircunferência menor e da maior que é o dobro : 2r'
a soma do diâmetro das duas é o diâmetro da semicircunferência maior
ou seja 2R = 2r' + 2r' + r' + r'
logo r' = 2R/3

A área é :
∏R²/2 - ∏(2R/3)²/2 - ∏(R/3)²/2
∏R²/2 - ∏4R²/18 - ∏R²/18
= (9∏R² - 5∏R²)/18
=2∏R²/9 => área da figura dois .

O perímetro da semicircunferência é ∏R

Na figura 1 é : ∏R +∏(R/2)/2 + ∏R/2
3/2∏R

Na figura 2 : ∏R + ∏(R/3)/2 + ∏(2R/3)/2
= 3/2 ∏R

Logo o perímetro das figuras é o mesmo , o que corrobora a afirmativa C.

Espero ter ajudado.

Glauber, muito obrigada pela resolução! Me perdoe a ignorância, mas não entendi o perímetro, o perímetro é ∏R porque se trata de uma semicircunferência não é?
Me perdi completamente com a soma do perímetro, porque ∏(R/2)/2, ∏(R/3)/2?

Becalima,
talvez lhe facilite se eu abordar por uma forma diferente da do Glauber. Apenas um detalhe

... e, na região da figura II, o raio de uma das semicircunferências internas é o dobro triplo do raio da outra.

circunferência A
perímetro ----> p_A = 2pi(4R)/2 -----> p_A = 4pi.R
área ------> S_A = pi.(4R)²/2 ----------> S_A = 8pi.R²

circunferência B
p_B = 2pi(2R)/2 -----> p_B = 2pi.R
S_B = pi.(2R)²/2 ------> S_B = 2pi.R²

circunferência C
p_C = 2pi(3R)/2 -----> p_C = 3pi.R
S_C = pi(3R)²/2 -------> S_C = 4,5*pi.R²

circunferência D
p_D = 2pi.R/2 -----> p_D = pi.R
S_D = pi.R²/2

figura I
p_I = p_A + 2*p_B = 4pi.R + 2*2pi.R -----> p_I = 8pi.R
S_I = S_A - 2*S_B = 8pi.R² - 2*2pi.R² -----> S_I =4pi.R²

figura II
p_II = p_A + p_C + p_D = 4pi.R + 3pi.R + pi.R ----> p_II = 8pi.R
S_II = S_A - S_C - S_D = 8pi.R² - 4,5*pi.R² - 0,5*pi.R² = 3pi.R²

Agora as alternativas.
a) A área da região da figura I é a mesma que a da região da figura II. ---------> NÃO
b) A área da região da figura I é menor que a da região da figura II. ------------> NÃO
c) O perímetro da região da figura I é o mesmo que o da região da figura II. ---> SIM
d) O perímetro da região da figura I é menor que o da região da figura II. ------> NÃO
e) Nenhuma das respostas anteriores está correta. <------------------------------- isto é alternativa de quem NÃO tem competência para elaborar prova.

Medeiros, muito obrigada pela atenção e pela resolução! Entendi perfeitamente e, ainda por cima tirei minha dúvida sobre a resolução do Glauber. E gostei muito do comentário sobre a alternativa e) rsrs.