Geometria Plana

Da figura, sabemos que AB = AC , Â = 100 graus e AD = BC. Determine x = CBD.



gab ; 10 graus

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Há uma solução trigonométrica para esse problema, menos carteada, porém mais trabalhosa. Deixarei para você a tentativa.


Abraço.

Matheus, se tiver uma solução trigonométrica seria interessante que nos mostre. 

Não é difícil encontrar pela aplicação da lei dos senos e outros resultados trigonométricos, uma equação trigonométrica para tan x  como por exemplo

tan x=tan 40 (2cos 40 -1)/(2cos 40 +1)   (1)

O problema é como solucionar isso de forma exata para o ângulo x, como na solução geométrica. Acredito que a solução trigonométrica vai ter que envolver alguma aproximação numérica, pois desconheço uma representação exata para tan 10, cos 10 ou sen 10 graus que possa ser facilmente reconhecida. Mas de repente vc tem a resposta.

Edição posterior: ok, já vi como fazer evitando o resultado numérico... dá pra mostrar que o lado direito da equação (1) é igual a tan 10, ou x=10, mas não é nada óbvio, rsrs

Olá, Adriano

Mais tarde eu escrevo alguma coisa aqui, estou sem tempo no momento

Abraço.

Dica:

Voltei,


Tome: AC = AB = x, BC = y, CD = y - x


i )        


ii)   


iii)  



Desenvolvendo, temos:



i)   



  

 







 



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Mateus, é isso mesmo, foi onde cheguei depois de pensar um pouco.

Dá pra dar uma simplificada no desenvolvimento inicial, observando no ∆ABC (isósceles),  que BC=2b sen 50 (em que b=AC=AB) logo, no ∆DCB, pela lei dos senos, temos

\frac{\text{sen}(40-x)}{BC}=\frac{\text{sen}(x)}{CD}

mas como BC=AD=2b\, \text{sen}\, 50=2b \cos 40 e CD=BC-b temos

\frac{\text{sen}(40-x)}{2b \cos 40}=\frac{\text{sen}(x)}{2b \cos 40-b}\Leftrightarrow \frac{\text{sen}(40-x)}{2 \cos 40}=\frac{\text{sen}(x)}{2 \cos 40-1} 

Em poucos passos podemos chegar a

\tan x=\tan 40\frac{2 \cos 40-1}{2 \cos 40+1}.

Desse ponto é só partir para o abraço como vc bem mostrou. 

Inicialmente fiquei meio encalhado nesse ponto, pensando em uma solução numérica mas depois vi como sair usando passos similares aos que vc usou, para mostrar que a expressão da direita é \tan 10

É bem legal termos as soluções geométrica e trigonométrica para o problema.