geometria - cálculo de área de círculo

por **raimundo pereira** Ter 20 Nov 2012, 19:02

Relembrando a primeira mensagem :

geometria - cálculo de área de círculo - Página 2 2e3s9c6

Calcular a área do círculo O', cuja circunferência é tangente à circunferência O de raio 5m e aos catetos AB e AC do triângulo retângulo isósceles ABC.

Resp. 53,90m²
ref. Edgar de A. Filho exercícios de geometria plana

por **raimundo pereira** Qui 22 Nov 2012, 17:27

Vlw Medeiros , Ontem e hoje estive Jundiaí e não tive muito tempo. Cheguei agora e começei a encarar , quando vi a sua msg, a qual que me deixou bem contente.Vou aguardar. abrs

por **Medeiros** Sex 23 Nov 2012, 03:54

Raimundo, segue a resolução.

circunferência O ---> R = 5 m
circunferência O' ---> r = ?

geometria - cálculo de área de círculo - Página 2 Circulonocirculo

r=O'E e r=O'F são os raios de O' no ponto de tangência com os catetos do ∆ABC; e G e H os pontos de intersecção com a hipotenusa.
Sejam O'H=a e HE=b. Então r=a+b.

∆BFG ≡ ∆CEH (caso LLL)
e
∆BFG ~ ∆CEH ~ ∆GO'H ~ ∆ABC (todos do caso AA)

BG + GH + HC = BC
b√2 + a√2 + b√2 = 2R -----> √2*(a+2b) = 2R -----> a + 2b = R√2 ......................(1)

OO' + O'D = OD
x + (a+b) = R ......................................................................................................(2)

∆O'GH ~ ∆ABC
$geometria - cálculo de área de círculo - Página 2 Gif.latex?%5C%5C%20%5Cfrac%7B%5C;%5Coverline%7BOO%27%7D%5C;%7D%7B%5Coverline%7BGH%7D%7D=%5Cfrac%7B%5C;%5Coverline%7BAO%7D%5C;%7D%7B%5Coverline%7BBC%7D%7D%20%5C;%5C;%5C;%5Crightarrow%5C;%5C;%5C;%20%5Cfrac%7Bx%7D%7Ba%5Csqrt%7B2%7D%7D=%5Cfrac%7BR%7D%7B2R%7D%20%5C;%5C;%5C;%5Crightarrow%5C;%5C;%5C;%20x=a%5C,%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;.................$

(3) em (2), vem:
$geometria - cálculo de área de círculo - Página 2 Gif.latex?%5C%5C%20%5Cfrac%7Ba%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D+a+b=R%20%5C;%5C;%5C;%5Clongrightarrow%5C;%5C;%5C;%20a%5C,%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D+2%7D%7B2%7D+b=R%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%28%5Ctimes%202%29%20%5C%5C%5C%5C%20a%5Cleft%28%5Csqrt%7B2%7D+2%20%5Cright%20%29+2b=2R%20%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;.................................................$

(4) − (1), vem:
$geometria - cálculo de área de círculo - Página 2 Gif.latex?%5C%5C%20a%5Cleft%28%5Csqrt%7B2%7D+2-1%20%5Cright%20%29=R%5Cleft%282-%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright%20%29%20%5C%5C%5C%5C%20a=R%5C;%5Cfrac%7B%5C;2-%5Csqrt%7B2%7D%5C;%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D+1%7D%20%5C;%5C;%5C;%5Clongrightarrow%5C;%5C;%5C;%20%7B%5Ccolor%7BBlue%7D%20a=R%5Cleft%283%5Csqrt%7B2%7D-4%20%5Cright%20%29%7D%20%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;.......................................$

(5) em (1), vem:
$geometria - cálculo de área de círculo - Página 2 Gif$

como r = a + b
r = R.(3√2 - 4 + 2 - √2) -----> r = R(2√2 - 2) -----> r = R.2(√2 - 1) ≈ 4,14 m

e finalmente,
S' = pi.r² -----> S' = pi.R².4(3 - 2√2) ≈ 53,90 m²

obs:
r ≈ R*0,83
S' = S*4(3-2√2) ≈ S*0,69

Um abraço.

por **raimundo pereira** Sex 23 Nov 2012, 08:58

Puxa! " cabeludinho" - trabalhosa e caprichada resolução. Bem que tentei encurtar o caminho aproveitando as suas primeiras deduções , mas não consegui. grt um abraço

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