Comprimento do arco

Determinar o comprimento de arco da curva:

Olá Mestre.


Pode-se chegar a um resultado numérico disso?

Agradecido...

Nas minhas contas que eu fiz deu: 0 (zero)

Mas...tenho dúvidas.

Dúvidas você não pode ter.

Está errado.

Se você pensar na fórmula ou esboçar a função vai ver que não pode dar zero:

s = ∫√( 1 + [f'(x)]² ).dx

Nunca vai dar zero se os limites inferior e superior forem diferentes, e são: ∏/4 e 3∏/4

Graficamente:




O resultado é ≈ 6,1822

Caso você não saiba derivar e integrar, não vai acertar...

Aí, a sua dúvida não seria a questão de calcular o comprimento, que é somente uma fórmula, mas de saber derivar e integrar...

E, nesse caso, é uma integral cabeluda ...

Muito trabalho... Haja conta !

Olá

Na verdade o comprimento é 14.Usando a fórmula do comprimento de curvas polares descrito AQUI .






logo :

Olá      !

Na verdade, a solução do Man Utd está incorreta.


O suficiente para o aprendizado foi fornecido para quem postou a questão:



Acredito que esse fórum não é para resolver listas de exercícios de Cálculo I e II de estudantes universitários, ainda mais para os que não sabem e não querem saber derivar ou integrar. Esse foi o motivo d'eu não detalhar a solução da questão

Man Utd forneceu o link da sua fonte, que mostra a fórmula:





Que foi a por mim fornecida, trocando-se L por s e r por y (ou f ), obviamente...


Parametrizando-se em θ :

y = g(θ)

x = h(θ)


Obtendo-se:


  





Fazer a parametrização de uma função circular (cossecante) é, no mínimo,  muito estranho...

Tipo trocar seis por meia dúzia...

Mas, vamos lá...


Resolvendo-se:

x = h(θ)

x = θ

dx/dθ = 1

y = g(θ)

y = - 7 csc(θ)

dy/dθ = - 7 csc(θ) cot(θ)

(dy/dθ)² = 49 csc²(θ) cot²(θ)


Usando-se a fórmula para  os limites de θ variando de ∏/4 até 3∏/4 :


L = ∫ √( (dx/dθ)² + (dy/dθ)² ) dx


L = ∫ √( 1 + 49 csc²(θ) cot²(θ) ) dx


Sabendo-se a identidade:

csc²(θ) ≡ 1 + cot²(θ)


Tem-se:

L = ∫ √( 1 + 49(1 + cot²(θ) ) cot²(θ) ) dx

L = ∫ √( 1 + 49( cot²(θ) + cot⁴(θ) ) dx


Resolvendo-se, numericamente:

L ≈ 6,1822


Uma tristeza visitar o fórum e ver que as mesmas coisas das quais sempre discordei, discordo e discordarei , continuem acontecendo...

OBS: Ressaltei em vermelho onde foi o erro do monitor.

rihan escreveu:Olá      !

Na verdade, a solução do Man Utd está incorreta.


O suficiente para o aprendizado foi fornecido para quem postou a questão:



Acredito que esse fórum não é para resolver listas de exercícios de Cálculo I e II de estudantes universitários, ainda mais para os que não sabem e não querem saber derivar ou integrar. Esse foi o motivo d'eu não detalhar a solução da questão

Man Utd forneceu o link da sua fonte, que mostra a fórmula:





Que foi a por mim fornecida, trocando-se L por s e r por y (ou f ), obviamente...


Parametrizando-se em θ :

y = g(θ)

x = h(θ)


Obtendo-se:


  





Fazer a parametrização de uma função circular (cossecante) é, no mínimo,  muito estranho...

Tipo trocar seis por meia dúzia...

Mas, vamos lá...


Resolvendo-se:

x = h(θ)

x = θ

dx/dθ = 1

y = g(θ)

y = - 7 csc(θ)

dy/dθ = - 7 csc(θ) cot(θ)

(dy/dθ)² = 49 csc²(θ) cot²(θ)


Usando-se a fórmula para  os limites de θ variando de ∏/4 até 3∏/4 :


L = ∫ √( (dx/dθ)² + (dy/dθ)² ) dx


L = ∫ √( 1 + 49 csc²(θ) cot²(θ) ) dx


Sabendo-se a identidade:

csc²(θ) ≡ 1 + cot²(θ)


Tem-se:

L = ∫ √( 1 + 49(1 + cot²(θ) ) cot²(θ) ) dx

L = ∫ √( 1 + 49( cot²(θ) + cot⁴(θ) ) dx


Resolvendo-se, numericamente:

L ≈ 6,1822


Uma tristeza visitar o fórum e ver que as mesmas coisas das quais sempre discordei, discordo e discordarei , continuem acontecendo...

OBS: Ressaltei em vermelho onde foi o erro do monitor.

Olá


Mestre Rihan, eu não parametrizei o que fiz foi utilizar a fórmula usando esta fórmula descrita no link obtemos o valor 14.


Abraço.

Sim Man Utd,

O problema é que você não compreendeu o espírito da coisa...

Quem postou, como a grande maioria nesse fórum, não postou o texto original, fornecendo origem ou autoria.

Este fato, repetitivo, foi inúmeras vezes alertado por mim ao Euclides, mas, pelo visto, continua se repetindo e nada se alterou nesses quase 3 anos.

Vou esclarecer para você:


Aonde está ESCRITO que a curva está na forma POLAR ?!?

Quem postou achou que qualquer um assim iria adivinhar e, preguiçosamente, não copiou a questão verbatim !

Insisti, inutilmente, chegando a mostrar a curva que entendi que era...

Mas, como desconfiava, o autor não se manifestou, sequer percebeu.

Ter "r" e "teta" ou "s" e "t" ou "L" e "p" não significa que está na forma polar !!!

Se assim fosse, e sei e sempre soube que o é, não era problema de Iniciação ao Cálculo !!!!

Vamos ver, sabendo ser em coordenadas polares:

r = -7 csc(θ)

x = r cos(θ) = -7 csc(θ) cos(θ) =  -7 cos(θ) / sen(θ) = -7 cot(θ)

y = r sen(θ) = -7 csc(θ) sen(θ) = -7 sen(θ) / sen(θ) = -7

Variando-se θ de ∏/4 até 3∏/4 :

cot(∏/4) = 1

cot(3∏/4) = -1

De 1 até -1 são -2, vezes -7 dá 14 u.c.

Nada de cálculo...

A "curva" é um segmento de reta de comprimento 2, paralelo ao eixo X e abaixo dele 7 u.c.

Por isso, disse ao postador que bastava esboçar a curva...

Saudações polares.