Questão - Números Complexos

por lucasbridi147 Dom 11 Nov 2012, 22:55

Sendo P(z) = 2z³ - 5z² + 10z - 4, pede-se:
A) Determine, no campo dos números complexos, o conjunto solução "S" da equação P(z) = 0.
B) Escreva o polinômio P(z) como produto de fatores, sendo um do 1º grau e o outro do 2º grau.
C) Para a raiz z = a + bi, da equação P(z) = 0, onde i² = -1, com a > 0 e b > 0, escreva os complexos (z), (w = z⁴), (p=w.i) em suas respectivas formas trigonométricas.

por aprentice Seg 12 Nov 2012, 01:25

Por Bolzano:
P(0) = -4
P(1) = 3
Logo, existe pelo menos uma raiz real entre 0 e 1.
Pelo TRR, a única raiz racional possivel no intervalo é 1/2.
Testando vemos que 1/2 de fato é raiz de P(z).
Por Briot-Ruffini:
1/2 | 2 -5 10 -4
2 -4 8 0
Logo:
B) P(z) = (z - 1/2)(2z² -4z + 8 )

2z² - 4z + 8 = 0
z = (4 +- sqrt(-48))/4 => z = 1 +- sqrt(3)i

A) S = {1/2, 1 + sqrt(3)i, 1 - sqrt(3)i}

C) z = 1 + sqrt(3)i => z/2 = 1/2 + sqrt(3)i/2 => z = 2cis(60)

w = z^4 => w = 16*cis(240)

p = wi => p = 16cis(240)*cis(90) = 16cis(330)

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