EsPCEx

Um jogo pedagógico foi desenvolvido com as seguintes regras:
– Os alunos iniciam a primeira rodada com 256 pontos;
– Faz-se uma pergunta a um aluno. Se acertar, ele ganha a metade dos pontos que tem. Se
errar, perde metade dos pontos que tem;
– Ao final de 8 rodadas, cada aluno subtrai dos pontos que tem os 256 iniciais, para ver se
“lucrou” ou “ficou devendo”.
O desempenho de um aluno que, ao final dessas oito rodadas, ficou devendo 13 pontos foi de

Bruno,
essa questão deve ser postada no fórum ESCOLAS MILITARES.
Normalmente a ESPCEX dá as alternativas DE RESPOSTAS .Se você tiver o gabarito coloque , ajuda quem está tentando resolvê-la.

Att

Questão movida para -> Escolas Militares -> Matemática

Obrigado.
Att

Ótima questão !

Sejam:

P[i] := total de pontos na rodada [i]

r[i] := resultado da pergunta [i]. Valores em {0; 1}, onde:

r = 1 --> certo

r = 0 --> errado

R[n] := Resultado do total de pontos ao final de [n] rodadas.

A[n] := Aproveitamento ao término de [n] perguntas


Tem-se:

n = 8

P[0] = 256 = 2ⁿ

A[n] = ∑(r) / n (I)

R[n] = P[n] - P[0] = P[n] - 2ⁿ (II)


E, para o total de pontos:

Termo inicial:

P[0] = P[0]


Quando se acerta:

P[n] = P[n-1] + P[n-1]/2 = P[n-1] ( 1 + 1/2) = 3P[n-1]/2


Quando se erra:

P[n] = P[n-1] - P[n-1]/2 = P[n-1] ( 1 - 1/2) = P[n-1]/2


Termo Geral Recursivo:

P[n] = 3^r[n] . P[n-1]/2


Termo Geral:

P[0] = P[0]

P[1] = 3^r[1] . P[0]/2

P[2] = 3^r[2] . P[1] /2

...

P[n-2] = ...

P[n-1] = 3^r[n-1] . P[n-2] /2

P[n] = 3^r[n] . P[n-1] /2

Logo:

P[n] = 3^r[1] . 3^r[2] . ... . 3^r[n-1] . 3^r[n] . P[0] / 2ⁿ

P[n] = 3^{∑( r[i] )} . P[0] / 2ⁿ

P[n] = 3^∑(r) . 2ⁿ / 2ⁿ

P[n] = 3^∑(r)


De (II) :

R[n] = P[n] - 2ⁿ

R[n] = 3^∑(r) - 2ⁿ

3^∑(r) = R[n] + 2ⁿ

∑(r) = log[3]( 2ⁿ + R[n] )

De (I) :

A[n] = log[3]( 2ⁿ + R[n] ) / n

Finalmente:

R[8] = -13

A[8] = log[3]( 256 - 13 ) / 8

A[8] = log[3]( 243 ) ) / 8

A[8] = log[3]( 3⁵) / 8

A[8] = 5 / 8 = 0,625

A[8] = 62,5 %

o aluno terminou com 243, logo se ele acertou x vezes:
256.(3/2)^x . (1/2)^8-x = 243
2^8 . 3^x . 2^-x . 2^x-8 = 3^5
3^x = 3^5
x=5
ele acertou 5 vezes, logo a proporção e 5/8 = 0,625=62,5%
ps:nao entendi sua resoluçao rihan, poderia me explicar?

Que solução elegante, dlemos.

bondade sua amigo!mas obrigado.

Olá Dlemos ,
Não entendi como você armou a 1a equação. Tem como tirar o pé do acelerador e dá uma detalhada? grt

Att

quando o aluno acerta é somado aos seus pontos a metade dos pontos que ele possui, logo seus pontos são multiplicados por (1 + 1/2)=(3/2), analogamente quando ele erra, seus pontos sao multiplicados por (1-1/2)=(1/2)...logo para chegar ao valor de 243 pontos, sua pontuaçao inicial foi multiplicada por (3/2) "x" vezes e por (1/2) "8-x" vezes! ficou mais claro agora raimundo?