POLINÔMIO

por lahulle Sex 12 Out 2012, 14:05

Alguem poderia me explicar como fazer essa questão?

Na divisão do polinomio p(x) = x elevado a 6 por x+1, o quociente é Q (x) e o resto é R1.
Se R2 é o resto da divisão de Q1 (x) por x+1, então R2 é igual a :

resposta : -6

por danjr5 Sex 12 Out 2012, 15:18

Olá Lahulle,
do enunciado temos: $x^6 = Q(x) \cdot (x + 1) + R_1$

Como o expoente do Dividendo é 6, e do divisor é 1 podemos concluir que o grau do quociente é 5 (6 - 1). Então, façamos: $\boxed{Q(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g}$

Daí,

$\\ x^6 = (x + 1) \cdot (ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g) + R_1 \\\\ x^6 = ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3 + ex^2 + gx + ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + g + R_1 \\\\ x^6 = ax^6 + (a + b)x^5 + (b + c)x^4 + (c + d)x^3 + (d + e)x^2 + (e + g)x + g + R_1 \\\\ \begin{cases} \boxed{a = 1} \\ a + b = 0 \Rightarrow 1 + b = 0 \Rightarrow \boxed{b = - 1} \\ b + c = 0 \Rightarrow \boxed{c = 1} \\ c + d = 0 \Rightarrow \boxed{d = - 1} \\ d + e = 0 \Rightarrow \boxed{e = 1} \\ e + g = 0 \Rightarrow \boxed{g = - 1} \\ g + R_1 = 0 \Rightarrow \boxed{R_1 = 1} \end{cases}$

$\boxed{Q(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1}$

Obtemos $R_2$ igualando o divisor a zero e substituindo o valor de $x$ em $Q(x)$ , veja:

$\\ \boxed{d : x + 1} \\ x + 1 = 0 \\ \boxed{x = - 1}$

$\\ \boxed{R_2 = Q(- 1)} \\\\ Q(x) = x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1 \\ Q(- 1) = - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 \\ \boxed{Q(- 1) = - 6}$

Logo,

$\boxed{\boxed{\boxed{R_2 = - 6}}}$

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