UERJ 2007

por wacandido Qua 03 Out 2012, 00:10

Considere, novamente, o polígono formado por João, do qual são retirados
dois triângulos isósceles. Com os triângulos restantes é possível
formar a superfície lateral de uma pirâmide hexagonal regular. Calcule
as medidas da altura e da aresta da base dessa pirâmide.

UERJ 2007 Preview003

Gabarito:

A aresta eu consegui achar, o problema tá sendo a altura. Eu só chego
nesse resultado que ele quer se eu considerar a aresta da pirâmide igual
a aresta da base da pirâmide, mas aí eu fico sem entender o porquê.

Antecipadamente agradeço

por BrunaSilva Sex 05 Out 2012, 12:14

Olá, pelo seu gabarito, acho que o valor da aresta lateral (AV) da pirâmide foi considerado igual a 10cm.

UERJ 2007 220pxregularoctagonsvg

Assim,

$\inline x^{2} = 10^{2} + 10^{2} - 2.10.10.cos 45º \\ x^{2} = 200 - 200.\sqrt{2} /2 \\ x = \sqrt{200 - 200 \sqrt{2}/2} \\ x = \sqrt{200 - 100\sqrt{2}}$

Em que x será o seu AE. Depois, ao se retirar 2 triângulos isósceles, a base virará um hexágono regular: UERJ 2007 Hexgono

Então, AE=AO e,

h² + AO² = AV²
h² = 10² - x²
$\inline h^{2} = 100 - ( 200 - 100\sqrt{2})\\ h^{2}= -100 + 100\sqrt{2}\\ h^{2}= 100 (\sqrt{2} - 1)\\ h = 10\sqrt{\sqrt{2} - 1}$ cm
Se não considerarmos a aresta lateral como sendo 10cm, não dá para ter nas respostas valores sem variáveis.
Espero ter ajudado.

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