Questão - Progressões (P.A. e P.G.)

por lucasbridi147 Qua 26 Set 2012, 22:41

Três números relativos distintos, colocados em certa ordem estão em P.A. Colocados em outra ordem, estão em P.G. Determine esses números, sabendo-se que seu produto é igual a 216.

Resposta: -12, -3 e 6.

Preciso de ajuda! A questão afirma que "em outra ordem" a sequência se torna uma P.G. O que é muito vago. Supondo uma P.A (x, y, z). A nova sequência poderá ser (x, z, y); (z, y, x); (y, x, z); (z, x, y); (y, z, x). Qual devo usar?
Pensei em utilizar também o fato de que a soma dos termos não será afetada. Mas nas fórmulas de Soma tanto da P.A como de P.G. é preciso definir o primeiro termo. O que retoma o problema inicial - Qual sequência usar para a situação de P.G?

Aguardo orientações! Boa noite!

por **Robson Jr.** Qua 26 Set 2012, 23:35

Numa certa ordem há formação de PG:

$\small PG:\left \{ \frac{x}{q}, \ x,\ xq \right \}$

Como o produto dos termos vale 216:

$\small \frac{x}{q}.x.xq=216 \Rightarrow x^3=216\Rightarrow x=6$

Dividamos em casos.

1. q > 0:

Teremos 6/q < 6 < 6q (se q > 1) ou 6q < 6 < 6/q (se 0 < q < 1), sempre com termo central 6. Como o trio constitui PA:

$\small \frac{6}{q}+6q=2.6 \Rightarrow q^2-2q+1=(q-1)^2=0 \Rightarrow q=1$

Mas o enunciado nos diz que os termos são distintos, impossibilitando essa resposta.

2. q < 0:

Teremos 6q < 6/q < 6 (se q < -1) ou 6/q < 6q < 6 (se -1 < q < 0). Testemos ambos:

$\small \\ 6q+6=2.\frac{6}{q} \Rightarrow q^2+q-2=0 \Rightarrow q=1 \ ou \ q=-2 \\\\ \frac{6}{q}+6=2.6q \Rightarrow 2q^2-q-1=0 \Rightarrow q=1 \ ou \ q=-\frac{1}{2}$

Nos serviriam q = -2 ou q = -1/2. Não importa qual escolhamos, o trio obtido será sempre o mesmo:

{-12, -3, 6}