Geometria Plana

por AndressaA Sáb 08 Set 2012, 19:38

Olá, amigos do PiR2! Smile

Estava estudando hoje e achei o fórum legal, resolvi me registrar.

Será que vocês poderiam me ajudar com esta questão? Ela caiu em um vestibular da UFES, e eu não consegui achar a resolução em lugar nenhum (e também não faço ideia nem de como começar a resolver - não consegui interpretar o problema direito silent

).

A questão é a seguinte: "Os campos de petróleo Peroá (P) e Golfinho (G) distam, respectivamente, 56km e 120km de um ponto A do litoral, o qual estamos supondo retilíneo (veja a figura abaixo).

Geometria Plana QuestoQ

Os pontos A e B são os pontos do litoral que estão mais próximos, respectivamente, dos campos P e G. A distância do ponto A ao ponto B é de 88km. Deseja-se construir no litoral um pólo de gás que fique situado à mesma distância dos campos P e G.
Nessas condições, pode-se afirmar que o pólo de gás deve ficar situado a:

a) 74km de A e a 14km de B
b) 64km de A e a 24km de B
c) 44km de A e a 44km de B
d) 24km de A e a 64km de B
e) 14km de A e a 64km de B"

O gabarito diz que a resposta é a letra B, mas como chegar a esse resultado? Por favor, me ajudem!

Desde já, agradeço. Very Happy

por **Iago6** Sáb 08 Set 2012, 20:45

→ Podemos representar o problema pelo seguinte plano cartesiano:

Geometria Plana Grap3

Nota-se que

$\mathrm{ A(0,0),\; B(88,0) ,\; P(0,56), \; G(88,16\sqrt{26})} \\\\\ C= (x,0) \;\; \textrm{Queremos }\rightarrow \overline{PC} =\overline{ GC} \\\\ (x,0)-(0,56) = (x,0) -(88, 16 \sqrt{26}) \\\\ (x, -56) = (x-88,-16 \sqrt{26}) \\\\\ \sqrt{x^2 + (-56)^2} = \sqrt{(x-88)^2+ (-16 \sqrt{26})^2} \\\\ \mathrm{x =64} \Longleftrightarrow \boxed {\textrm{ A={\color{Red} 64 km} e B= {\color{Red} 24 km}}}$

por Jônatas Arthur De F. L. Sáb 08 Set 2012, 20:50

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/805/arcsoftimagem982.jpg/

Tá aí a imagem já com a resolução!
Espero que dê pra entender. =D

por AndressaA Sáb 08 Set 2012, 21:11

Nossa, muito obrigada a vocês dois! Ajudaram bastante! =D
Acho que entendi melhor a resolução do Jônatas.
Mas que entender direito a sua também, Iago! Só me responda uma coisinha:

1. Como você descobriu as coordenadas do ponto G?

Desculpe-me por ser tão devagar. Esse negócio de Matemática não é bem a minha praia, pelo menos não essa parte de Geometria. >3<"

por **Iago6** Sáb 08 Set 2012, 21:22

Se você analisar o desenho notará que a coordenda de G (x,y) nada mais é do que o vértice de um triângulo retângulo, para x temos 88, para y (altura) temos y = √ ( temos hipotenusa (120)² - cateto adjacento (88)² ) que é igual 16√26.
Então: G(88, 16√26).

Se tiver mais dúvidas pode perguntar. Surprised

por **ivomilton** Sáb 08 Set 2012, 21:27

AndressaA escreveu:Olá, amigos do PiR2!
Estava estudando hoje e achei o fórum legal, resolvi me registrar.

Será que vocês poderiam me ajudar com esta questão? Ela caiu em um vestibular da UFES, e eu não consegui achar a resolução em lugar nenhum (e também não faço ideia nem de como começar a resolver - não consegui interpretar o problema direito ).

A questão é a seguinte: "Os campos de petróleo Peroá (P) e Golfinho (G) distam, respectivamente, 56km e 120km de um ponto A do litoral, o qual estamos supondo retilíneo (veja a figura abaixo).

Os pontos A e B são os pontos do litoral que estão mais próximos, respectivamente, dos campos P e G. A distância do ponto A ao ponto B é de 88km. Deseja-se construir no litoral um pólo de gás que fique situado à mesma distância dos campos P e G.
Nessas condições, pode-se afirmar que o pólo de gás deve ficar situado a:

a) 74km de A e a 14km de B
b) 64km de A e a 24km de B
c) 44km de A e a 44km de B
d) 24km de A e a 64km de B
e) 14km de A e a 64km de B"

O gabarito diz que a resposta é a letra B, mas como chegar a esse resultado? Por favor, me ajudem!

Desde já, agradeço.

Boa noite, Andressa.

Vamos completar o desenho acima, assim:

A partir de P, trace uma paralela a AB até encontrar GB num ponto que designaremos com a letra C.
Ligamos P a G através de um segmento de reta e designaremos seu ponto médio com a letra D.
A partir de D, tracemos uma perpendicular a PG até encontrar AB num ponto que designaremos com a letra E.
Finalmente, desde D baixaremos uma perpendicular a AB até seu ponto médio que designaremos com a letra F.

A seguir, no ∆ retângulo GBA, calculemos a medida do cateto GB:
(AG)² = (AB)² + (GB)²
(120)² = (88)² + (GB)²
(GB)² = 14400 - 7744 = 6656
GB = √6656
GB = 16√26

Note que os ∆s retângulos GCP e DFE são semelhantes, por terem seus lados respectivamente perpendiculares entre si. Isto significa que seus lados são respectivamente proporcionais.

As medidas dos catetos do ∆ GCP são:
PC = 88
GC = 16√26 - 56

E as dos catetos do ∆ DFE são:
DF = (PA+GB)/2 = (56 + 16√26)/2 = 28 + 8√26
FE = ?

Temos, pois, a seguinte proporção:
88/(16√26 - 56) = (28 + 8√26)/FE

88*FE = (16√26 - 56)(28 + 8√26)
FE = (16√26 - 56)(28 + 8√26)/88
FE = (448√26 + 128*26 - 1568 - 448√26)/88
FE = (3328 - 1568)/88
FE = 1760/88
FE = 20

Ora, sendo F ponto médio de AB, então:
FB = 88/2 = 44

Logo, temos:
AE = AF + FE
AE = 44 + 20
AE = 64

EB = FB - FE
EB = 44 - 20
EB = 24

Alternativa (b)

Tenha um abençoado domingo e semana próxima!

por AndressaA Dom 09 Set 2012, 12:21

Iago6 escreveu:
Se você analisar o desenho notará que a coordenda de G (x,y) nada mais é do que o vértice de um triângulo retângulo, para x temos 88, para y (altura) temos y = √ ( temos hipotenusa (120)² - cateto adjacento (88)² ) que é igual 16√26.
Então: G(88, 16√26).

Se tiver mais dúvidas pode perguntar.

Aaah, sim! Agora consegui entender tudinho! Obrigada, sua explicação é ótima! Very Happy

por AndressaA Dom 09 Set 2012, 12:37

Noossa! Adorei sua explicação, Ivomilton! Tão clara! *0*

Na verdade, as três resoluções estão ótimas!
Muito obrigada pela ajuda, pessoal, eu nunca teria chegado a isso sozinha! Agora, se cair algo parecido em minha prova, com certeza vou conseguir resolver, de alguma forma. Obrigada mesmo, me tiraram de uma dúvida cruel!