(Espanha) Determinantes de Cofatores

por theblackmamba 6/9/2012, 10:15 pm

Seja A uma matriz inversível de ordem n e B a matriz dos cofatores de A. Demonstre que: $\\det(B)=det(A)^{n-1}$

por Luck 6/9/2012, 10:42 pm

da fórmula para cálculo da inversa:

A^(-1) = (1/detA) (cofA)^ t
A^(-1) = detA^(-1) . (B)^t

detA^(-1) = k

A^(-1) = k.B^t
aplicando det dos dois lados:
det(A^(-1) ) = det(k.B^t)
det(A^(-1) ) = k^n . detB
det(A^(-1) ) =( detA^(-1) ^n ) det(B)
det(B) = 1/ detA^(-1) ^(n-1)
det(B) = det(A)^(n-1)
Acho que é uma forma válida de demonstrar...

por **Robson Jr.** 6/9/2012, 11:00 pm

Existe um método bem famoso para se calcular a inversa de uma matriz.

Seja R uma matriz inversível e cof(R) a matriz dos cofatores de R. É resultado conhecido que:

$\small R^{-1}=\frac{1}{det(R)}.(cofR)^t$

Aplicando determinante de ambos os lados:

$\small det(R^{-1})=det\left ( \frac{1}{det(R)}.(cofR)^t \right ) \\\\ \Leftrightarrow \ \frac{1}{det(R)}=\left ( \frac{1}{det(R)} \right )^n.det(cofR) \\\\ \Leftrightarrow (det(R))^{n-1}=det(cofR) \\\\ \Leftrightarrow det(R^{n-1})=det(cofR)$

Trocando R por A e cofR por B chegamos exatamente no pedido.

EDIT:

O Luck postou primeiro. Smile

theblackmamba, você estaria interessado na demonstração da expressão usada?

por **Iago6** 6/9/2012, 11:36 pm

Robson, daria para determinar a inversa dessa matriz com esse método?

$\begin{bmatrix} 16 &-1 &-10 \\ 13 & -1 & -8\\ 11&-1 &-7 \end{bmatrix}$

por **Robson Jr.** 7/9/2012, 12:24 am

Claro.

O determinante da matriz é unitário. Os cofatores são:

$\small \left\{\begin{matrix} cof(a_{11})=-1\\ cof(a_{12})=3\\ cof(a_{13})=-2 \end{matrix}\right.; \ \left\{\begin{matrix} cof(a_{21})=3\\ cof(a_{22})=-2\\ cof(a_{23})=5 \end{matrix}\right.; \ \left\{\begin{matrix} cof(a_{31})=-2\\ cof(a_{32})=-2\\ cof(a_{33})=-3 \end{matrix}\right.$

Aplicando:

$A^{-1}=1. \begin{bmatrix} -1 & 3 & -2\\ 3 & -2 &5 \\ -2 & -2 & -3 \end{bmatrix}^t \Rightarrow {\color{Red} A^{-1}= \begin{bmatrix} -1 &3 &-2 \\ 3 & -2 &-2 \\ -2 & 5 &-3 \end{bmatrix}}$

por **Iago6** 7/9/2012, 12:54 am

Valeu, ajudou bastante. Smile

por theblackmamba 7/9/2012, 3:29 pm

Robson Jr. escreveu:

theblackmamba, você estaria interessado na demonstração da expressão usada?

Achei os posts de todos muito bacana mesmo.

Robson, se possível queria sim para complementar meus conhecimentos, pois está fórmula eu realmente também desconhecia.

Obrigado a todos estão de parabéns!!

por **Robson Jr.** 7/9/2012, 3:38 pm

Farei em breve um post na seção CQD com a demonstração dessa fórmula. Smile

por **Iago6** 16/9/2012, 1:26 am

Cadê a demonstração? Very Happy

A inversa da matriz que eu pedi pra vc determinar eu havia calculado de uma outra maneira, dessa que você me apresentou eu conhecia só que errei (não me lembro onde) ai mudei de método, usei a regra de Cramer.

Dá uma olhada a forma que havia feito, incrível consegui me enrolar no método simples que não exigia um grau de atenção tão grande, mas não me enrolei dessa outra maneira.

https://pir2.forumeiros.com/t31866-inversao-de-matrizes

por **Robson Jr.** 16/9/2012, 4:33 pm

Esse método funciona bem para matrizes de 3ª ordem. Para ordem 4 ou superior, Gauss-Jordan é mais rápido.

Demonstração a caminho. (tinha esquecido Smile

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