questão de trigonometria

por hagolopes Qui 23 Ago 2012, 22:20

(UFCE) Considere a equação cos²x - cosx - 2 = 0. Pode-se afirmar que a soma de suas soluções que pertencem ao intervalo [0, 4pi ] é:

a) 1

b) -1

c) 0

d) 4 pi

e) 2 pi

por **Al.Henrique** Qui 23 Ago 2012, 23:34

Vamos substituir cosx = y

$y^2- y - 2 =0$

$\Delta = (-1)^2-4.1.(-2) = 9$

$y = \frac {1\pm3}{2}$

$y = 2 ~ou~y = -1$

$cos(x) = 2 ~ou~cos(x) = -1$

Não existe cosseno maior que 1, então :

$cos(x) = -1$

$x= \pi$

$x= 3.\pi$

Soma das soluções :

$\sum x= 4.\pi$

(D)

por Êxodo Sousa Qua 01 Dez 2021, 19:19

Amigo, como você chegou no "x=3pi", na segunda parte do cálculo?
Eu entendi que uma das soluções da equação na qual resultou 2 foi cancelada, pois é impossível, sobrando assim -1, daí sei que cosx=-1, x=180º=pi.
Porém, 4pi equivale a duas voltas completas no ciclo, consequentemente, teria-se pi na primeira volta e pi na segunda, totalizando 2pi.
Onde está o erro?

Editando aqui depois de ter entendido a resolução da forma correta: o correto não é "pi na segunda" e sim "3pi na segunda", pois "pi+ 2kpi", sendo k=1(equivalendo a segunda volta). Somando tudo ---> pi + 3pi= 4pi. Bons estudos!

por **qedpetrich** Qua 01 Dez 2021, 19:26

Solução x = ∏ + 2k∏, onde k ∈ ℕ.

A primeira para k = 0, logo:

x' = ∏

A segunda para k = 1, logo:

x'' = ∏ + 2∏ = 3∏

Somando as duas soluções:

x' + x'' = ∏ + 3∏ = 4∏.

Ele quer a soma das duas soluções. Entendeu?