(CN) Semicircunferências.

thiagomurisini,
a legibilidade da sua figura está de amargar, tive de adivinhar algumas partes.



BB’ = 6 cm

Note as áreas:
triângulo----- M’N’P’ = S ........... área pedida
trapézio----- MM’N’N = S₁
trapézio----- NN’P’P = S₂
trapézio----- MM’P’P = S₃

S = S₁ + S₂ - S₃

simplificação da terminologia:
AN = NC = NN’ = R₁
AM = MB = MM’ = R₂
BP = PC = PP’ = R₃

S = (R₂+R₁).MN/2 + (R₁+R₃).NP/2 – (R₂+R₃).MP/2

MN = R₂ - NB
NP = R₃ + NB
MP = R₂ + R₃

2S = R₂² - R₂.NB + R₁R₂ - R₁.NB + R₁R₃ + R₁.NB + R₃² + R₃.NB - R₂² - 2R₂R₃ - R₃²

2S = R₁(R₂+R₃) – 2R₂R₃ – NB(R₂-R₃) ................. [1]

(R₂+R₃) = R₁

média geométrica:
(BB’)² = AB.BC
6² = 2R₂.2R₃ -----------> R₂R₃ = 9

em [1] vem
2S = R₁² - 2*9 – NB(R₂-R₃) ............ [2]

Podemos ter quaisquer relações entre R₁, R₂ e R₃ desde que se mantenha BB’=6.
p/ R₂ = R₃ ==> R₁ = BB’ = 6 ----> R₂ - R₃ = 0
Então a [2] fica:

2S = 6² - 18 -----> S = 18/2 -----> S = 9 cm²
.