Problemas de análise combinatória

Quantos numeros de 4 algarismos podemos formar de modo que a soma dos algarismos centrais seja igual à soma dos
algarismos externos ?

E quantos formam cupicua( iguais da direita p/ esq. ou da esquerda p/ direita)

E com dobradinha tipo 5757?

E com a soma dos 4 algarismos formando um numero impar?

Henrique Marthinho escreveu:

Quantos números de 4 algarismos podemos formar de modo que:

(a) A soma dos dois algarismos mais internos seja igual à soma dos dois algarismos externos ?

(b) Sejam capicuas (ou palíndromos: iguais quando lidos da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita ) ?

(c) Sejam dobradinhas, tipo 5757 ?

(d) A soma dos 4 algarismos seja um número ímpar ?

Suposição: 0XXX, 00XX, 000X e 0000 não são números de 4 algarismos, onde X é um dígito qualquer diferente de zero.

Assim, os resultados não podem ser usados para as loterias semelhantes àquela inventada pelo Barão de Drummond...

(a) E I I' E' onde E + E' = I + I'

E > 0 , isto é, os números permitidos estão no intervalo de 1 000 até 9 999.

Explorando Somas "Possíveis":

Somas	Pares	#
18	99	1
17	98,89	2
16	97,79,88	3
15	96,69,87,78	4
14	95,59…,77	5
13	94,49…	6
12	93,39…,66	7
11	92,29,83,38…	8
10	91,19,82,28…, 55	9
9	90,09,81,18,72,27…	10
8	80,08,71,17,62,26…	9
7	70,07,61,16,52,25…	8
6	60,06,51,15,42,24,33	7
5	50,05,41,14,32,23…	6
4	40,04,31,13,22	5
3	30,03,21,12	4
2	20,02,11	3
1	10,01	2
0	00	1

A soma zero não é possível ("número" 0000).

Tem-se que ter cuidado con as inversões X0 e 0X, pois 0X não pode ser o extremo esquerdo.

Vamos lá !

Com a soma 18 temos um único número possível: 1.1 = 1 (9999)

Com 17: 2.2 = 4 ( 9898, 8899, 8989, 9988 )

Com 16: 3.3 = 9 ( 9977, 7979, 8978, 9887, 8888, 7889, 9797, 8798, 7799 )

Com 15: 4.4 = 16

Com 14: 5.5 = 25

Com 13: 6.6 = 36

Com 12: 7.7 = 49

Com 11: 8.8 = 64

Com 10: 9.9 = 81
------------------- +
========285

A soma dos quadrados dos naturais positivos de 1² a n² é dada por:

∑n² = (n+1)(n)(2n+1)/6

∑ = 1² + 2² + 3² + ... + 9² = (9 + 1)(9)(2.9 + 1)/6 = 10.9.19/6 = 5.3.19 =285

Vamos aos "problemáticos" que iniciam com zero:

Com soma 9: o 09 só pode ser interior: 9.10 = 90

Com 8: 8.9 = 72

Com 7: 7.8 = 56

Com 6: 6.7 = 42

Com 5: 5.6 = 30

Com 4: 4.5 = 20

Com 3: 3.4 = 12

Com 2: 2.3 = 6

Com 1: 1.2 = 2
------------------- +
======== 330


Isso é a soma dos números de arranjos de n=2 a n=10 , pegos 2 a 2:

∑[A(n;2)] = 2∑[C(n;2)] = 2C(n+1;3) ---> Soma nas colunas do Triângulo de Pascal

Essa soma é então: 2C(10+1; 3) = 2C(11,3) = 2.11.10.9/(3.2) = 330

Total Final: 285 + 330 = 615


(b) Palíndromos ou Capicuias: 1221, 9449, 8888, ..., XY YX, XX XX.


(c) Dobradinhas: 2121, 1010, 8888, ..., XY XY, XX XX


(d) Soma Ímpar: 1110, 1235, 1000, 2467, ..., I I I P, P P P I

Metade dos 9000 = 4500, por simetria indutiva: 1000, 1001,1002,1003, ..., 9996, 9997, 9998, 9999


Deixo os itens (b) e (c) para o seu deleite...

Rihan, por obras de artes iguais a essas é que voce é um grande mestre
muito obrigado pela Aula, nenhum livro poderia me ensinar o que acabo
de aprender com voce. Muito obrigado, Mestre.

!

Estamos aqui !

E Vamos Lá !