Função polinomial de 2º grau

Calcule a, b e c de modo que o vértice da parábola representativa da função f(x)=ax²+bx+c seja (1, -16) e que -3 seja um zero da função.

Resposta: a=1, b=-2 e c=-15.

Eu entro num sistema de equações infinita e não consigo resolver. :scratch:

Dicas de como resolver sistemas de maneira mais fácil são bem vindas.

temos:

f(x) = a*x² + b*x + c

V( 1, - 16 )

f(x) = 0 -> x = - 3 ou x = 5 ( simétrico de -3 em relação ao eixo da parábola.

então:

0 = 25a + 5b + c
0 = 9a - 3b + c
- 16 = a + b + c

| 25.....5.......1..........0 |
| 9..... - 3..... 1.........0 |
| 1.......1.......1.... - 16 |

L1 <- L3

| 1......1.......1..... - 16|
| 9... - 3...... 1..........0|
| 25.....5.......1..........0|

L2 <- L2 + L1*(-9)
L3 <- L3 + L1*(-25)

| 1......1.......1...... - 16|
| 0... - 12..... -8.....144|
| 0.....-20.....-24.....400|

L2 <- L2/12

| 1......1.......1...... - 16|
| 0... -1..... -2/3.......12|
| 0.....-20.....-24.....400|

L3 <- L3+L2*(20)

| 1......1.......1...... - 16|
| 0... -1..... -2/3.......12|
| 0.....0.....-32/3.....160|

(- 32/3)*c = 160 -> c = - 15

( - 1 )*b - ( 2/3)*( - 15 ) = 12 -> b = - 2

a - 2 - 15 = - 16 -> a = 1

mello1b escreveu:Calcule a, b e c de modo que o vértice da parábola representativa da função f(x)=ax²+bx+c seja (1, -16) e que -3 seja um zero da função.

Resposta: a=1, b=-2 e c=-15.

Eu entro num sistema de equações infinita e não consigo resolver. :scratch:

Dicas de como resolver sistemas de maneira mais fácil são bem vindas.

Boa tarde, Mello.

No gráfico da parábola, lembremo-nos de que as abcissas das raízes estão equidistantes da abcissa do vértice:
Sendo
abcissa do vértice = 1
abcissa de uma das raízes = -3

Então, a abcissa da outra raiz está distante:
1 - (-3) = 1+3 = 4 unidades no gráfico.

Está, portanto, 4 unidades à direita da abcissa do vértice, uma vez que a raiz fornecida está à esquerda do mesmo, e a abcissa do vértice sempre se encontra entre as abcissas das raízes.

Logo, a abcissa da outra raiz é igual a:
1 + 4 = 5.

Conhecendo-se, então, as abcissas das raízes como sendo -3 e 5, podemos agora formar a equação de f(x):
f(x) = (x-x1)(x-x2) = [x-(-3)](x-5) = (x+3)(x-5)
f(x) = x² - 2x - 15









Um abraço.

ivomilton escreveu:

mello1b escreveu:Calcule a, b e c de modo que o vértice da parábola representativa da função f(x)=ax²+bx+c seja (1, -16) e que -3 seja um zero da função.

Resposta: a=1, b=-2 e c=-15.

Eu entro num sistema de equações infinita e não consigo resolver. :scratch:

Dicas de como resolver sistemas de maneira mais fácil são bem vindas.

Boa tarde, Mello.

No gráfico da parábola, lembremo-nos de que as abcissas das raízes estão equidistantes da abcissa do vértice:
Sendo
abcissa do vértice = 1
abcissa de uma das raízes = -3

Então, a abcissa da outra raiz está distante:
1 - (-3) = 1+3 = 4 unidades no gráfico.

Está, portanto, 4 unidades à direita da abcissa do vértice, uma vez que a raiz fornecida está à esquerda do mesmo, e a abcissa do vértice sempre se encontra entre as abcissas das raízes.

Logo, a abcissa da outra raiz é igual a:
1 + 4 = 5.

Conhecendo-se, então, as abcissas das raízes como sendo -3 e 5, podemos agora formar a equação de f(x):
f(x) = (x-x1)(x-x2) = [x-(-3)](x-5) = (x+3)(x-5)
f(x) = x² - 2x - 15









Um abraço.

Não conhecia essa maneira de fazer. Entendi, é um jeito bem mais fácil, muito obrigado.

E José Carlos, são matrizes, certo? Também não conhecia esse método, mas não o entendi.

Olá mello1b,

São matrizes sim, resolvi usa-las por vc ter feito referência a ter entrado num "sistema de equações infinita para achar as variáveis".
Utilizei o escalonamento da matriz formada com os coeficientes de "a", "b" e "c" aumentada dos termos independentes.
Obviamente a solução dada pelo amigo Ivomiltom é muito mais simples e elegante.

Jose Carlos escreveu:Olá mello1b,

São matrizes sim, resolvi usa-las por vc ter feito referência a ter entrado num "sistema de equações infinita para achar as variáveis".
Utilizei o escalonamento da matriz formada com os coeficientes de "a", "b" e "c" aumentada dos termos independentes.
Obviamente a solução dada pelo amigo Ivomiltom é muito mais simples e elegante.

Sim, mas esse das matrizes é interessante. A montagem das matrizes eu entendi, mas não entendi o que se tem que fazer com elas pra chegar nos valores. É claro que não é obrigação sua explicar passo-a-passo, mas se pudesse ajudava bastante.

Muito obrigado.

Olá mello 1b,

Depois de montada a matriz fiz um escalonamento para resolver o sistema.

| 25.....5.......1..........0 |
| 9..... - 3..... 1.........0 |
| 1.......1.......1.... - 16 |

L1 <- L3 -> significa que troquei a primeira linha pela terceira

| 1......1.......1..... - 16|
| 9... - 3...... 1..........0|
| 25.....5.......1..........0|

L2 <- L2 + L1*(-9) -> significa que substitui a segunda linha pela soma dela com a primeira vezes ( - 9 )
L3 <- L3 + L1*(-25) -> significa que substitui a terceira linha pela soma dela com a primeira vezes (- 25 )

assim por diante.

Obs.: Mesmo não sendo uma obrigação é sempre uma responsabilidade e um prazer tentar dirimir todas as dúvidas, qualquer coisa pode perguntar.

Jose Carlos escreveu:Olá mello 1b,

Depois de montada a matriz fiz um escalonamento para resolver o sistema.

| 25.....5.......1..........0 |
| 9..... - 3..... 1.........0 |
| 1.......1.......1.... - 16 |

L1 <- L3 -> significa que troquei a primeira linha pela terceira

| 1......1.......1..... - 16|
| 9... - 3...... 1..........0|
| 25.....5.......1..........0|

L2 <- L2 + L1*(-9) -> significa que substitui a segunda linha pela soma dela com a primeira vezes ( - 9 )
L3 <- L3 + L1*(-25) -> significa que substitui a terceira linha pela soma dela com a primeira vezes (- 25 )

assim por diante.

Obs.: Mesmo não sendo uma obrigação é sempre uma responsabilidade e um prazer tentar dirimir todas as dúvidas, qualquer coisa pode perguntar.

Agora ficou mais claro. Então as linhas 2 e 3 das matrizes devem ser somadas com a primeira linha multiplicada pela primeira coluna dessa linha (no caso as linhas 2 e 3)?

Obrigado.

Agora ficou mais claro. Então as linhas 2 e 3 das matrizes devem ser
somadas com a primeira linha multiplicada pela primeira "coluna" dessa
linha (no caso as linhas 2 e 3)?

Atenção, primeira linha

Deve ser multiplicada por um determinado valor tal que somada a outra linha torne zero um ou mais elementos. Dê uma olhada na maneira de se fazer o escalonamento de uma matriz.

Jose Carlos escreveu:Agora ficou mais claro. Então as linhas 2 e 3 das matrizes devem ser
somadas com a primeira linha multiplicada pela primeira "coluna" dessa
linha (no caso as linhas 2 e 3)?

Atenção, primeira linha

Deve ser multiplicada por um determinado valor tal que somada a outra linha torne zero um ou mais elementos. Dê uma olhada na maneira de se fazer o escalonamento de uma matriz.

Mas se foi multiplicado por 9 e 25, por que não seria a primeira coluna?