Sequência "

por Nat' Sex 03 Ago 2012, 10:48

Bom dia pessoal! Alguém pode me ajudar com essa?

Considere a equação x(n+2) + p.x(n +1) + q.xn = 0, onde p e q são constantes e q é diferente de zero e a equação r² + pr+ q = 0, cujas as raízes são r1 e r2 . Mostre que xn = C1. r1^n + C2. r2^n é solução da primeira equação, quaisquer que sejam as constantes C1 e C2.

Obrigada!

por **Robson Jr.** Sáb 04 Ago 2012, 13:39

Não entendi o enunciado.

EDIT: Acho que entendi. Vou tentar fazer.

EDIT²:

Da expressão, vem:

$\small \\ x_n=c_1.r_1^n+c_2.r_2^n \\\\ x_{n+1}=c_1.r_1^{n+1}+c_2.r_2^{n+1} \\\\ x_{n+2}=c_1.r_1^{n+2}+c_2.r_2^{n+2}$

Substituindo:

$\small \\ (c_1.r_1^{n+2}+c_2.r_2^{n+2})+p(c_1.r_1^{n+1}+c_2.r_2^{n+1})+q(c_1.r_1^n+c_2.r_2^n)=0$

Mas se r1 e r2 são raízes de r² + pr + q, então das relações de Girard (r1 + r2) = -p e (r1.r2) = q.

$\small \\ (c_1.r_1^{n+2}+c_2.r_2^{n+2})-(r_1+r_2)(c_1.r_1^{n+1}+c_2.r_2^{n+1})+r_1r_2(c_1.r_1^n+c_2.r_2^n)=0 \\\\ c_1r_1^{n+1}+c_2r_2^{n+1}-c_1r_1^{n+2}-c_2r_2^{n+2}-c_1r_2r_1^{n+1}-c_2r_1r_2^{n+1}+c_1r_2r_1^{n+1}+c_2r_1r_2^{n+1}=0 \\\\ 0=0$

CqD

Era só fazer conta. Very Happy