CN 1997 - Sistema de equações

por **raimundo pereira** Qui 02 Ago 2012, 18:38

Considere o sistema linear S, de incógnitas x e y:

S=

$a_{1}x + b_{1}y = c_{1}\\a_{2}x + b_{2}y = c_{2}$

Se os pares ordenados (x , y) = (3 , -5) e (x , y) = (2 , -3) são soluções de S, então:

a) (-3 , 7) também é solução de S.
b) (3 , -7) também é solução de S.
c) S só tem as duas soluções apresentadas.
d) S só tem mais uma solução além das apresentadas.
e) Qual par ordenado de números reais é solução de S.

Gab alt A

por danjr5 Qui 02 Ago 2012, 21:33

Raimundo,
boa noite!
A equação poderá ser obtida fazendo:

$\begin{bmatrix} x & y & 1 & | & x & y \\ 3 & - 5 & 1 & | & 3 & - 5 \\ 2 & - 3 & 1 & | & 2 & - 3 \end{bmatrix} = 0 \\\\\\ - 5x + 2y - 9 + 10 + 3x - 3y = 0 \\\\ - 2x - y + 1 = 0 \\\\ \boxed{y = - 2x + 1}$

Agora, basta verificar as alternativas.

por **raimundo pereira** Qui 02 Ago 2012, 21:49

Obrigado dnjr5 . O problema é que no ensino fundamental não se fala em Matrizes\Determinantes, e eu tenho que ensinar meu filho. Mas, acho que não tem outro jeito vamos ter que estudar essa matéria. Noutro dia foi Cramer agora é Sarrus rsrsrsr. Sem determiantes fica muito complicado? Um abraço

Raimundo

por **Iago6** Sex 03 Ago 2012, 12:27

raimundo pereira escreveu:Obrigado dnjr5 . O problema é que no ensino fundamental não se fala em Matrizes\Determinantes, e eu tenho que ensinar meu filho. Mas, acho que não tem outro jeito vamos ter que estudar essa matéria. Noutro dia foi Cramer agora é Sarrus rsrsrsr. Sem determiantes fica muito complicado? Um abraço

Raimundo

Mas a questão não é de nível fundamental.
Entenda esse "problema" como um recurso, não como uma dificuldade. Ele tem que se acostumar a estudar materias que não foram ensinadas, principalmente em física que é algo que se tornou bem normal nos vestibulares, cobrar matérias que não foram ensinadas.

por **raimundo pereira** Sex 03 Ago 2012, 13:28

Bom dia Iago ,
Acho que você não me entendeu. O que eu pretendo é ver a uma resolução a nível de ensino Fundamental , o que acho possível. Sobre estudar matérias que são cobradas , você vai aprender que uma das coisas mais importantes na vida é saber administrar prioridades, que é o que estamos fazendo no momento. Um abraço
Raimundo

por **Iago6** Sex 03 Ago 2012, 16:37

Boa tarde, Raimundo.

Eu entendi, apenas generalizei o "problema", porque foi algo que vivenciei, e tive que superar sozinho. E acredito eu, se tivesse me adaptado bem antes, a dificuldade seria menor.

Um abraço Surprised

por danjr5 Sáb 04 Ago 2012, 00:35

Olá Raimundo,
boa noite!
Segue outra forma de resolver a questão (Ensino Fundamental).

Substituindo os valores de x e y nas equações obtemos um sistema, veja:

$\begin{cases} 3a - 5b = c \\ 2a - 3b = c\end{cases}$

Igualando o valor de c...

$3a - 5b = 2a - 3b \rightarrow \boxed{a = 2b}$

Substituindo $\boxed{a = 2b}$ em uma das equações que formam o sistema, teremos:

$2a - 3b = c \rightarrow 4b - 3b = c \rightarrow \boxed{c = b}$

Note que a e c estão em função de b, então resta-nos substituir esses 'valores' na equação $ax + by = c$

Daí,

$ax + by = c \\\\ 2bx + by = b \\\\ b(2x + y - 1) = 0 \\\\ 2x + y - 1 = 0 \\\\ \boxed{\boxed{y = - 2x + 1}}$

Comente qualquer dúvida!

por **ramonss** Sáb 04 Ago 2012, 00:43

danjr5
mas como você pôde fazer isso, sendo que os "a", "b" e "c" sap diferentes nas duas eq. do sistema? (a1 e a2)

por **raimundo pereira** Sáb 04 Ago 2012, 10:24

danjr bom dia ,

Muito obrigado , principalmente pelo interesse de atender o meu pedido(resolução a nível do Fundamental). Também acompanhei a sua resolução no problema proposto pelo Fernando , o que ajudou a ter uma compreensão melhor da matéria, mas, nessa questão fiquei com a mesma dúvida do ramonss, ou seja: os valores de a , b e c não são diferentes nas duas equações? Um abraço Raimundo

por **Medeiros** Sáb 04 Ago 2012, 18:25

Raimundo
substitua os pares (3,-5) e (2,-3) na primeira eq.; após, iguale os c1; vc. obterá
a1 = 2b1
c1 = b1

Idem para a segunda eq., obtendo
a2 = 2b2
c2 = b2

Agora, deixe a primeira eq. do sistema em função de b1; e a segunda em função de b2 . Em quaisquer das duas obter-se-á
2x + y = 1 ----> y = -2x + 1

É basicamente o mesmo feito pelo Danjr5, apenas ressalvando os índices que diferenciam os coeficientes.