Determine f

por Dinheirow Ter 31 Jul 2012, 23:42

Seja f uma função real tal que
$f(x) = \frac{9^x}{9^x + 3}$

Determine o valor de

$f(\frac{1}{2012}) + f(\frac{2}{2012}) + f(\frac{3}{2012}) +...+ f(\frac{2011}{2012})$

Spoiler:

por **fantecele** Ter 29 Ago 2017, 10:58

$\\\frac{9^x}{9^x+3}=\frac{3^{2x}}{3^{2x}+3}$

Dividindo numerador e denominador por 3^x iremos ficar com:

$\\\frac{3^{x}}{3^{x}+3^{1-x}}$

Portanto $\\f(x)=\frac{9^x}{9^x+3}=\frac{3^{x}}{3^{x}+3^{1-x}}\,\,\,(I)$ .

Perceba que por temos um número ímpar de termos na soma iremos ter um termo central nela, e ele é igual a f(1006/2012). Perceba também que ao substituirmos os valores dos x's na soma, os termos simétricos a esse termo central ao serem somados irão dar como resultado igual a 1, veja:

$\\f(\frac{1}{2012})+f(\frac{2011}{2012})=\frac{3^{\frac{1}{2012}}}{3^{\frac{1}{2012}}+3^{\frac{2011}{2012}}}+\frac{3^{\frac{2011}{2012}}}{3^{\frac{2011}{2012}}+3^{\frac{1}{2012}}}=1\\\\f(\frac{2}{2012})+f(\frac{2010}{2012})=\frac{3^{\frac{2}{2012}}}{3^{\frac{2}{2012}}+3^{\frac{2010}{2012}}}+\frac{3^{\frac{2010}{2012}}}{3^{\frac{2010}{2012}}+3^{\frac{2}{2012}}}=1\\\\...\\\\f(\frac{1005}{2012})+f(\frac{1007}{2012})=\frac{3^{\frac{1005}{2012}}}{3^{\frac{1005}{2012}}+3^{\frac{1007}{2012}}}+\frac{3^{\frac{1007}{2012}}}{3^{\frac{1007}{2012}}+3^{\frac{1005}{2012}}}=1$

Somando tudo, e somando também com o valor de f(1006/2012) = 1/2 iremos obter:

$\\f(\frac{1}{2012})+f(\frac{2}{2012})+f(\frac{3}{2012})+...+f(\frac{2011}{2012})=\frac{2011}{2}$

Determine f

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