[Resolvido](CMRJ 2006/2007) Algarismo da Unidade

Qual é o algarismo da ordem das unidades simples do numeral correspondente ao produto da multiplicação 4 x 3²⁰⁰² escrito com os algarismos do Sistema Decimal de Numeração?
(A) 2
(B) 3
(C) 6
(D) 8
(E) 9

RESPOSTA:

Spoiler:

Olá ary, para determinar o algarismo das unidades de qualquer número, basta achar o resto dele na divisão por 10.

3² == (-1) mod(10)
3^(4) == 1 mod (10)

4.3².(3^4) ^(500) == 4.3².1 == 36 == 6 mod(10)

Esta questão é com nível de Ensino Médio básico, assim nesse sentido seria necessário resolvê-la como matemática básica. Conhece outra maneira de resolver esse problema com tais ferramentas?

A gente pode usar congruência sem usar congruência.

Vejamos como se repete o algarismo das unidades das potências de 3:

3^1 = 3
3^2 = 9
3^3 = 27
3^4 = 81
3^5 = (80 + 1)*3 = ALGO*10 + 3
3^6 = (ALGO*10 + 3)*3 = ALGO*10 + 9
3^7 = (ALGO*10 + 9)*3 = ALGO*10 + 27 = ALGO*10 + 20 + 7 = ALGO*10 + 7

(...)

Então de fato podemos olhar só para os algarismos das unidades. Generalizando, em termos do expoente:

Formato 4k + 1 ---> Termina em 3.
Formato 4k + 2 ---> Termina em 9.
Formato 4k + 3 ---> Termina em 7.
Formato 4k -------> Termina em 1.

2002 = 4.(500) + 2 ---> 3^{2002} termina em 9.

Multiplicando por 4, o algarismo das unidades fica:

4*9 = 36 ---> Termina em 6.