Funções: Injetora e sobrejetora

Considere f:Dom(f)→Im(f) com os conjuntos encontrados na função f(x)=1/√(x^2-1) , responda (justificando):
(1,0) (a) f é injetora?

(1,0) (b) f é sobrejetora?

f(x) = 1/√(x²-1)

A função em questão não é injetora, pois exsite x' diferente de x, que aplicado na função resulta no mesmo y.

Veja por exemplo, F(2) e F(-2), ambos tem os mesmos valores.

A função não está definida para x = 1 , pois não podemos ter zero no denominador. sendo assim, f(x) não é sobrejetora.

O domínio de f(x) (Dom(f)) é ℝ - {1}
Sua imagem(Im(f)) é ℝ+* (Conjunto dos reais positivos e não nulos)

Para achar sua inversa:

y = 1/ √(x²-1)

Vamos inverter x com y :

x = 1 /√(y²-1)

x² = 1 /(y²-1)

1/x² = y²-1

1 + 1/x² = y²

y = √(1 + 1/x²)

Que é a nossa inversa.

Comos invertemos a função, devemos inverter também, seu dominio e imagem, agora teremos :

O domínio de f(x) (Dom(f)) é ℝ+* (Conjunto dos reais positivos e não nulos)

Sua imagem(Im(f)) é ℝ - {1}

Caros amigos:

Uma observação em relação à resposta do Henrique: O domínio de f é ]-∞ ,-1[∪ ]1,+∞ [, porque x^2-1 teria de ser positivo. Para f ser injetiva (ou injetora) podemos considerar como restrição (máxima) um desses intervalos. Na solução apresentada pelo Henrique a restrição é o intervalo ]1,+∞ [. Se considerassemos o intervalo ]-∞,-1[ a expressão viria precedida do sinal -(pois x seria <0).

Um abraço.