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Definição de limites

2 participantes

PiR2 :: Matemática :: Iniciação ao Cálculo

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Definição de limites

por Lilian Cristina da Costa Seg 23 Jul 2012, 14:26

Use a definição de limite para provar que se a função f e a função g são contínuas num ponto a, então a função f+g também é contínua no ponto a.

Lilian Cristina da Costa: Jedi; Mensagens : 216
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Re: Definição de limites

por Iago6 Seg 23 Jul 2012, 15:29

$\lim_{x\to a} (f + g)(x)= \lim_{x\to a} (f(x)+ g(x))\\\\ \;\;\;\;\;\ \ = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a}g(x) \\\\ = f(a) + g(a) \\\\ = (f+g)(a). \\\\ \textup{Logo f + g é contínua. }$

Iago6: Fera; Mensagens : 808
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Re: Definição de limites

por Lilian Cristina da Costa Seg 23 Jul 2012, 16:52

Obrigada iago, mas eu preciso é da definição formal de limites, e pra te ser sincera sou péssima nela.

Lilian Cristina da Costa: Jedi; Mensagens : 216
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$\lim_{ x \to a} [ f(x) + g(x)] = L +M \\\\ | f(x) + g(x) - (L+M) | = |(f(x) - L) + (g(x) -M)| \\\ \leq |(f(x) - L)| + |(g(x) -M)| \\\\ \textup{Fazendo: } |(f(x) - L) + (g(x) -M)| < \varepsilon \textup{ e cada um dos termos }< \frac{\varepsilon}{2}\textup{ temos: }\\\ |(f(x) - L)|< \frac{\varepsilon}{2} \;\;\;\; ;\textup{ sempre que ; } 0 < |x-a|< \delta _1 \\\\ |(g(x) -M)|< \frac{\varepsilon}{2} \;\;\;\; ;\textup{ sempre que ; } 0 < |x-a|< \delta _2 \\\\ \textup{ Onde }\delta = \textup{Minimo } \left \{ \delta _1 , \delta _2 \right \}$

$\textup{se }0 <| x-a| < \delta ; \;\; \textup{ então }\;\; ;0<|x-a|< \delta_1 \textup{ e }0 <|x-a|< \delta _2 \\\\ \textup{ Logo : } |f(x) - L| < \frac { \delta}{2} \;\;\; e \;\;\ |g(x) - M| < \frac { \delta}{2} \\\\\ \textup{Consequentimente : } | f(x) + g(x) - (L+M) | \leq |(f(x) - L) + (g(x) -M)| \\\\ \frac{\varepsilon }{2} +\frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon \\\\ | f(x) + g(x) - (L+M) | < \varepsilon \textup{ sempre que } 0<|x-a|< \delta . \\\\ \textup{O que pela definição temos:} \\\\ \lim_{ x \to a} [ f(x) + g(x)] = L +M$