Como provar...
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Como provar...
por alissonsep Sáb 14 Jul 2012, 19:38
Prove que a equação x³-3x²+6=0 admite uma única raíz real. Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raíz
Tentei provar pelo teorema do valor médio só que encontrei duas raizes que satisfazem a conclusão do teorema, ou seja,
f '(c)= [f(b)-f(a)] / [ (b-a) ].
Agradeço a ajuda mais uma vez...
Gabarito:
Tentei provar pelo teorema do valor médio só que encontrei duas raizes que satisfazem a conclusão do teorema, ou seja,
f '(c)= [f(b)-f(a)] / [ (b-a) ].
Agradeço a ajuda mais uma vez...
Gabarito:
- Spoiler:
[-2,-1]
No gabarito só consta este intervalo.
alissonsep- Grupo
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Re: Como provar...
por Elcioschin Sáb 14 Jul 2012, 22:44
Teorema de Bolzano
Para x = -1 ------> f(-1) = 2
Para x = -2 ------> f(-2) = -14
Logo, existe uma raiz x0 no intervalo -2 =< x =< -1 ------> [-2, -1]
f '(x) = 3x² - 6x -----> f '(x) = 3x*(x - 2) -----> Raízes x = 0 e x = 2 ----> Valores de máximo ou mínimo locais
f "(x) = 6x - 6
Para x = 0 ----> f "(0) = - 6 ----> Máximo local
Para x = 2 -----> f "(2) = 6 -----> Mínimo local
A função é negativa no intervalo ]-oo, x0[ cruza o eixo X em x = x0, passa por um máximo positivo (y = 6) em x = 0, passa por um mínimo positivo (y = 2) em x = 2 e continua positiva no intervalo ]2, 00[
Como cruza o eixo X apenas UMA vez, tem somente UMA raiz real
Para x = -1 ------> f(-1) = 2
Para x = -2 ------> f(-2) = -14
Logo, existe uma raiz x0 no intervalo -2 =< x =< -1 ------> [-2, -1]
f '(x) = 3x² - 6x -----> f '(x) = 3x*(x - 2) -----> Raízes x = 0 e x = 2 ----> Valores de máximo ou mínimo locais
f "(x) = 6x - 6
Para x = 0 ----> f "(0) = - 6 ----> Máximo local
Para x = 2 -----> f "(2) = 6 -----> Mínimo local
A função é negativa no intervalo ]-oo, x0[ cruza o eixo X em x = x0, passa por um máximo positivo (y = 6) em x = 0, passa por um mínimo positivo (y = 2) em x = 2 e continua positiva no intervalo ]2, 00[
Como cruza o eixo X apenas UMA vez, tem somente UMA raiz real
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Como provar...
por Dinheirow Sáb 14 Jul 2012, 22:56
f(x) = x³-3x²+6
derivando-se a função em relação a x
f'(x) = 3x²-6x
Como se pode ver a função é estritamente crescente, e portanto injetiva, para todo x real, f'(x) >= 0
Logo, pode-se inferir que f corta o eixo das abscissas uma única vez na raíz f(c) = 0
Para definir o intervalo da raíz, deve ser necessário recorrer ao cálculo numérico e ao teorema de bolzano, mas ainda não aprendi sobre isso, então atribuí valores a x e observei o sinal de f(x) :afro:
derivando-se a função em relação a x
f'(x) = 3x²-6x
Como se pode ver a função é estritamente crescente, e portanto injetiva, para todo x real, f'(x) >= 0
Logo, pode-se inferir que f corta o eixo das abscissas uma única vez na raíz f(c) = 0
Para definir o intervalo da raíz, deve ser necessário recorrer ao cálculo numérico e ao teorema de bolzano, mas ainda não aprendi sobre isso, então atribuí valores a x e observei o sinal de f(x) :afro:
Dinheirow- Jedi
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Re: Como provar...
por alissonsep Sáb 14 Jul 2012, 23:24
Obrigado amigo Mestre Elcio, excelente lembrete o teorema de Bolzano, havia esquecido. Obrigado ao amigo Dinheirow também ajudou muito.
Obrigado amigos
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alissonsep- Grupo
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