Parábola

Considere a parábola P de equaçao y = ax^2 , com a > 0 e um ponto A de coordenada (x',y') satisfazendo a y'< ax'^2. Seja f a area do triangulo ATT', onde T e T' sao os pontos de contato das tangentes AP passando por A.
a) Calcule o valor da area S em funçao de a, x' e y'.
b)Calcule a equaçao do Lugar Geométrico do ponto A adimitindo que a area S seja constante.
c) Identifique a cônica representada pela equação obitida no item anterior.

Spoiler:

Bruna

Este é bem trabalhoso
Erros do enunciado

1) ........ Seja S a área ......
2) ........ contato das tangenta a P passando por A

Faça um desenho da parábola com vértice na origem.
O ponto A(x', y') é externo à parábola.

Trace por A as duas tangentes e sejam T(x1, x1²) e T'(x2, x2²)

Os coeficientes angulares das retas suporte destas tangentes são dadas pela derivada dy/dx = 2x

Para a reta T ------> (y' - x1²)/(x' - x1) = 2x1 ----> 2x'x1 - 2x1² = y' - x1² ----> x1² - 2x'x1 + y' = 0

As duas soluções significam as abcissas dos pontos T e T'

Ponto T -----> x1 = x' + \/(x'² - y') ----> y1 = x1² -----> y1 = 2x'² - y' + 2x'\/(x'² - y')

Ponto T' -----> x2 = x' - \/(x'² - y') ----> y2 = x2² -----> y2 = 2x'² - y' - 2x'\/(x'² - y')

Basta agora você calcular a área do triângulo usando determinante D =

x' ...... x1......... x2 ...... x'

y' ...... y1 ....... y2 ...... y'

D = x'y1 + x1y2 + x2y' - y'x1 - x2y1 - x'y2

S = |D|/2