Problema EN

Um balão sobe verticalmente com uma velocidade constante igual a 600 m/min. Em um dado momento cai do balão uma bomba, a qual, atingindo o solo, explode. A explosão é ouvida, 12s após a partida da bomba, por um observador que se encontra no balão. Pede-se a altura deste, no instante em que foi abandonada a bomba. Supor que a velocidade do som é de 330 m/s e que a aceleração da gravidade no local vale 10m/s². Supor também desprezível a resistência do ar.

Enrosquei neste problema há algum tempo, e continuo sem achar a solução certa. Se alguém puder ajudar, agradeço desde já.

A resposta é 400m

Alguém?

Amigo, estou tentando resolver esse problema há alguns dias.. vamos ver se sai enquanto tento explicar o que andei fazendo.

Me deparei com a seguinte situação :

Seja H a altura de lançamento da bomba. O tempo que ela demora para chegar a atura máxima é de 1 segundo, veja :

No ponto de altura máxima sua velocidade vale zero, então :

Vf² = Vi² - 2gD
0² = 10² -2.10.D
.'. 100/20 = D .'. D = 5m

Como o tempo de subida é igual ao tempo de queda e no instante onde a velocidade é zero, temos uma queda livre :

H = gt²/2
5 = 10t²/2 .'. t = 1seg

Ou seja, a bomba gastou 1 para subir.

Observe também, que o balão subiu junto com a bomba, e que, decorrido 1 segundos, a distância entre a bomba e o balão vale 5m ! visto que o balão percorreu 10m

Resta então, 11 segundos, para a bomba atingir o solo e o som chegar ao balão.

Só que , enquanto a bomba cai , o balão sobe, esse foi meu problema, colocar tudo (velocidade, equação horária, etc..) da bomba em referência ao balão. Como o balão tem um vetor de 10m/s para cima, e a bomba não tem velocidade (0m/s), no ponto em que se encontra depois dos decorridos 1 segundos, vamos tentar "parar o balão". A velocidade relativa da bomba/balão é então, -10m/s no ponto. Sem contar que agora, o balão está a 5 metros acima do ponto onde a velocidade é nula.

Então montei a seguinte equação , orientando o sentido para baixo como positivo para a bomba :

Tq = tempo de queda
Ts = tempo do som

Tq + Ts = 11

Para a bomba :

S = S0 +V0t +at²/2

H+5 = 5 + -10t + 5t²

5t² -10t +5 - H -5 = 0

5t² -10t - H = 0

∆ = (-10)² - 4.5.(-H) = 100 - 20(-H)
∆ = 100 + 20H
∆ = 100 + 20H
Tq = [10 ± √(100+20H) ] / 10

Como tempo é um valor positivo , sugiro :

Tq = [10 + √(100+20H)]/10

Para o som, ele tem velocidade relativa igual a 320m/s, ja que o vetor velocidade do balão é de afastamento em relação ao vetor velocidade do som, e vai percorrer uma distância total de H + 10, visto que ja tinha se passado 1 segundos, ou seja, o balão subiu 10m.

então :

320 = H+10 / Ts

Ts = (H + 10) / 320

Logo :

[10 + √(100+20H)]/10 + (H + 10)/320 = 11

Onde a solução desta equação , não é H = 400m, da um numero muito próximo. Gostaria de saber onde errei..

O referencial adotado será para cima positivo, o zero será onde a bomba foi lançada.

Temos pelo enunciado
tq+ts+tsu=12 (i)


tsu=(v-v0)/g
ts=-vo/-g
ts=1s

tq=v/g
Por Torricelli
v=sqrt(20H)
mas, H=h+5
tq=sqrt(20(h+5))/10

ts=(h+12.10)/330
ts=(h+120)/330

Substituindo
sqrt(20(h+5))/10+1+(h+120)/330=12
sqrt(20(h+5))/10+(h+120)/330=11
sqrt(20(h+5))/10=11-(h+120)/330

Dará 430m aproximadamente.

Vou acompanhar o tópico.

Também encontrei 430...

tomando o chão como referencial de altura.
Sbalão = H + 10t, após 12s a explosão é ouvida, logo o balão vai estar em
Sbalão = H + 10.12 --> Sb = H + 120m

no instante em que a bomba é abandonada, por inércia ela sobe + 5m:
0 = 10² - 2.10. h -> h= 5m , v = vo + at --> 0 = 10 - 1t -> t =1s
entao após t = 2s, ela seguirá ao chão com a mesma velocidade inicial de subida.
a partir daí:
tqueda + tsom = 10s
tq + ts = 10 -> tq = (10-ts) (1)

H = 10tq + (10/2)tq²(2) espaço que a bomba percorre ate o chão , após os 2 s.

H+120 = vs.ts (3) (espaço que o som vai percorrer pra encontrar o balão após a explosão)

(1) em (2):

H = 10(10-ts) + 5(10-ts)²
H = 10(10-ts) + 5( 100 -20ts + ts²)
H = 600 - 110ts + 5ts²

substituindo H em (3):
600 - 110ts + 5ts² + 120 = 330ts
5ts² -440ts + 720 = 0
ts² - 88ts + 144 = 0
ts ~= 86,333s (F) ou ts ~= 1,668s

susbtituindo em (3):

H+120 = 330.1,668
H = 430,44 m

certeza do gabarito?

Pra vocês pensarem...

Olá rihan, nao consegui encontrar algum erro na minha solução... A sua resposta deu 400m certinho?

Procure pensar.

Quando a bomba se desliga do balão, a resultante , que era nula, deixa de ser.

Leia os gráficos que eu fiz.

Não pense só matematicamente, mas, o mais importante, fisicamente.

rihan escreveu:Pra vocês pensarem...

Mestre Rihan, permita-me fazer algumas contestações :

No primeiro gráfico ( H x t ), Acredito que o gráfico do balão seja uma reta, pois foi dito que o mesmo sobe com velocidade constante de 10 m/s.

No segundo gráfico, (v x t ) , o mesmo pensamento : Nunca foi dito que a velocidade do balão varia, portanto, acredito que a reta seja paralela ao eixo do tempo na ordenada 10

No tercereiro e último, nunca foi dito que o balão sofreu algum tipo de variação de velocidade ao sobir ou depois que foi largado a bomba, portanto, não teve aceleração.

Parceiro Al.Henrique,



Sejam:

M := Massa do Balão + Observador + ...

m := Massa da Bomba

E := Vetor Empuxo

P := Vetor Peso


Velocidade constante --> Aceleração nula --> Resultante nula.

R = E - P = 0

E = P

E = M.g + m.g

Bomba Solta:

O Empuxo continua o mesmo e a resultante é:

R = E - P = M.a

Mg + mg - Mg = M.a

M.a = m.g

a = g.m/M

Que é a aceleração do balão a partir do lançamento da bomba.

Pense agora no principal princípio da Física, a conservação da quantidade de movimento.

Como as condições são ideais, use também o princípio da conservação da energia total do sistema.