Progressão Aritmetica 10

por guilhermefisica Sex 30 Out 2009, 19:47

Prove que, se uma PA apresenta a[m] = x , a[n] = y e a[p] = z, então verifica-se a relação:

(n-p).x + (p-m).y + (m-n).z=0

por **Jose Carlos** Qui 05 Nov 2009, 17:31

Olá,

temos:

am = x => x = a1 + (m-1)*r

an = y => y = a1 + (n-1)*r

ap = z => z = a1 + (p-1)*r

sendo:

(n-p).x + (p-m).y + (m-n).z=0

então:

(n-p)*[a1+(m-1)*r ] = n*a1 + n*m**r - n*r - p*a1 - p*m*r + p*r (I)

(p-m)*[a1+(n-1)*r ] = p*a1 + p*n*r - p*r - m*a1 - n*m*r + m*r (II)

(m-n)*[a1+(p-1)*r ] = m*a1 + m*p*r - m*r - n*a1 - n*p*r + n*r (III)

somando:

a1*(n+p+m) - a1*(n+p+m) + r*(n*m+p*n+m*p) - r*(n*m+p*n+n*p) +

- n*r - p*r - m*r + p*r + m*r + n*r = 0.

Um abraço.

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