EsPCEX - Cumprimentos numa festa, e número de pessoas

(EsPCEX) Numa festa, todos os participantes cumprimentam-se. Houve 66 apertos de mão. Portanto, havia na festa:
a) 12 pessoas
b) 33 pessoas
c) 30 pessoas
d) 10 pessoas
e) n.d.a.

Resposta: Alternativa a)

Obs.: Eu sei que há uma forma lógica de resolver. Por exemplo, com 10 pessoas, o número de cumprimentos será:

9+8+7+6+5+4+3+2+1+0 = 45

Entretanto, eu queria saber se há uma forma de resolver, por exemplo com uso de equações (1° ou 2° grau). Estou perguntando isso, pois, por exemplo, existe a possibilidade de que a questão dissesse que houveram 10800 apertos de mão (estou chutando um valor), e daí, quantas pessoas haveriam?

Vamos supor que todas essas pessoas estejam reunidas e se cumprimentem. Então nós temos que, quando houver um cumprimento entre duas pessoas, esse cumprimento não vai se repetir (se o Euclides cumprimentar o Rihan, o Rihan não vai cumprimentar o Euclides de novo). Ou seja, se tivermos um grupo com todas as pessoas, os cumprimentos que serão feitos serão combinações entre duas pessoas num grupo com n pessoas.

Entendeu? É uma combinação de dois a dois num grupo de n pessoas.

C(2,n) = n! / (n - 2)! * 2! = n * (n - 1) * (n - 2)! / (n - 2)! * 2! = n * (n - 1) / 2

E n(n - 1) / 2 = 66. Então...
n(n - 1) = 132 -> n² - n = 132 -> n² - n - 132 = 0
∆ = 1 + 528 = 529
n = 1 +- 23 / 2
n = 12 ou n = - 11 (não serve)

Logo, 12 pessoas estavam na festa. Letra A.

Espero ter ajudado. ^_^

Ahhh... , é verdade, é isso mesmo, trata-se de combinação simples. Cara, eu nem me toquei, sério .

Muito obrigado Agente Estevs, era esta resposta que eu estava esperando, ajudou muito !

Pense que você é a pessoa A. Ao entrar na sala, encontram-se mais 11 pessoas nela.
Você dá 11 apertos de mão (já que você não pode apertar a própria mão).

Agora, você é B. Há mais 11 pessoas nela (incluindo A). Como você já trocou apertos de mão com A (A apertou a mão de B), você irá apertar a mão somente de mais 10 pessoas na sala (já que você não pode apertar a própria mão, nem de A).
Agora, você é C. Há mais 11 pessoas nela (incluindo A e B). Você já trocou apertos de mão com A e B (A e B apertaram sua mão), então você troca apertos de mão com as 9 pessoas restantes na sala.

E assim por diante, até a pessoa K (que é a 11° pessoa na sala).

Perceba que, ao somar os apertos de mão, temos: 11+ 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 66 apertos de mão.

Observe que é a mesma coisa que a lógica n(n-1)/2; n.(n-1) vem da ideia de que você não pode apertar a própria mão - sendo n o número de pessoas na sala - e a divisão por 2 indica que é desprezado os apertos de mão duplicados (casos em que se considera B apertando a mão de A e vice-versa).

Espero que você tenha compreendido melhor com meu exemplo.