Número de prestações contratadas

Um financiamento a juros efetivos de 2% a.m. foi quitado em um determindo número de parcelas mensais e iguais postecipadas de $ 4.243,17. Se os juros pagos no período foram de $ 1.215,84, determinar o número de prestações contratadas.

RESPOSTA: n=5.

Desde já, o meu muito obrigado e os meus parabéns para quem conseguir determinar matematicamente o valor de n.

Cf=i/1-(1+t)^-n
Cf=0,02/1-(1+0,02)^-n

Cf=0,02/(1-(1,02)^-n)
CF=0,02.1,02^n/(1,02^n-1)

Mas:
4243,17=M.Cf
Cf=4243,17/M
e
n*4243,17=(M+1215,84)
M=4243,17n-1215,84
Logo, CF=4243,17/(4243,17n-1215,84)
Igualando:

4243,17/(4243,17n-1215,84)=0,02.1,02^n/(1,02^n-1)
212158,5/(4243,17n-1215,84)=1,02^n/(1,02^n-1)
212158,5.1,02^n-212158,5=1,02^n(4243,17n-1215,84)
1,02^n(212158,5-4243,17n+1215,84)=212158,5
1,02^n(213374,3-4243,17n)=212158,5

Ferrou, não consigo sair daqui rs

Espero que te ajude, vou continuar pensando, estou um pouco sem tempo no momento também.

PS: A resposta dará 5 pelo wolframalpha.

Bom dia, hygorvv!

Bem que eu disse que seria de "queimar as pestanas"!

Muito obrigado por estar tentando resolver a questão de uma forma algébrica, pois só conseguir de outra maneira que depois colocarei aqui.

Estarei aguardando por sua preciosa continuação.

NOTA: Após colocar no site o que escrevi acima, fui ver se no Yahoo!Respostas havia alguém que tivesse tentado também responder, e encontrei a resposta de uma pessoa que assina Prof. Janildo (Malba Tahan) (deve se o segundo, pois o primeiro Malba Tahan era o prof. Júlio César de Mello e Souza).

Ele chegou à mesma equação final sua, e depois partiu para o Wolfram. Dê uma espiada:

http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20120527133225AAOApKy


Um forte abraço e mais uma vez o meu muito obrigado por todo o seu empenho em resolver essa questão!

=======================================================================

Agora colocarei aqui como foi que resolvi essa questão, de uma forma não algébrica, pois que essa não estava conseguindo:

J = n * PMT - PV
PMT = PV * FRC → PV = PMT/FRC
FVA = 1/FRC → PV = PMT * FVA

...iii. J + PV
n = ---------
...iii.. PMT

..iii.... J ....... PV
n = ------ + ------
...... PMT .... PMT

........ J ....... PMT * FVA
n = ------ + --------------
...... PMT ......... PMT

........ J
n = ------ * FVA
...... PMT

Como "n" é sempre um número inteiro, a soma do quociente de J/PMT mais o valor do FVA deverá resultar em um número inteiro, ou seja, as partes decimais (após a vírgula) somadas, deverão resultar em um inteiro, ou algum número como 0,99999....

Tabela de FVA (Fator de Valor Atual) — link abaixo:
http://fortium.edu.br/blog/anderson_fer ... bela-3.pdf

Concluindo: Calcule o valor de J/PMT, anote sua parte decimal, e a seguir procure na Tabela de FVA, coluna de i=2%, um valor cuja decimal seja o complemento disso para a unidade (mesma decimal que 1 - J/PMT)

O "n" correspondente a esse valor da Tabela de FVA, será a resposta à questão!

Aplicando-se o que foi explicado, fica:
J/PMT = 1215,84/4243,17 = 0,286540487
FVA (parte decimal) = 1 - 0,286540487 = 0,713459513
Na Tabela de FVA encontramos o valor 4,713460 na coluna dos 2% e n=5.
Esse é o valor de n!

Espero que seu livro traga também essa tabela.

Este foi o segundo caminho que encontrei para resolver esta sua questão.

O primeiro foi o seguinte:

J = n*PMT - PV

...... 1215,84 + PV
n = ------------------
........- 4243,17

Observando-se a equação acima, nota-se que o numerador deverá ser múltiplo do denominador, já que o quociente (n) só poderá ser número inteiro.
Certamente que o idealizador dessa questão deve ter usado um número "redondo" para PV, pois não teria sentido ele escolher um número fracionário.
Pensando assim, listei vários múltiplos de 4243,17, dos quais, subtraindo-se 1215,84, resultasse num número múltiplo de 1000 reais (um número redondo):
1_4243,17 - 1215,84 = 3026,33
2_8246,34 - 1215,84 = 7270,50
3_12729,51 - 1215,84 = 11513,67
4_16972,68 - 1215,84 = 15756,84
5_21215,85 - 1215,84 = 20000,01 → = 20.000,00 (PV) → a diferença de 0,01 se deve a que os juros não são exatamente1215,84...
Conferindo:
PV = PMT * FVA
PMT = PV/FVA
PMT = 20000,00/4,713460 = 4243,16744 = 4243,17






Um abraço.

1,02^n=212158,5/(213374,3-4243,17n) para n≠0
Sendo 212158,5/(213374,3-4243,17n)=g(n)

Repare que
lim[n->(213374,3/4243,17)^+](212158,5/(213374,3-4243,17n))=-∞
lim[n->(213374,3/4243,17)^-](212158,5/(213374,3-4243,17n))=+∞
Logo, n<213374,3/4243,17 ≈50

para n=0 <-> g(0)=0,99

Sendo g(n)=1,02^n
Para n=0 <-> h(0)=1, logo, está acima de g(n). Mas g(n) cresce indefinidamente quando n começa a tender a 50. Já h(n) cresce mais suave, pois sua base é próxima de 1.

Poderíamos testar alguns valores inteiros rápidos e achar um intervalo menor, até a resposta.

Enfim, não estou conseguindo encontrar nenhuma aproximação para resolver.

Caso consiga algo mais, eu posto.

PS: Excelentes resoluções! Parabéns!!!

Olá, amigos.

Gostaria de apresentar mais uma solução alternativa para este exercício:

J = n * PMT - PV
FVA = 1/FRC → PV = PMT * FVA

J = n * PMT - PV
---->
1.215,84 = n*4.243,17 - PMT * FVA
---->
1.215,84 = n*4.243,17 - 4.243,17*(1,02^n-1)/(1,02^n*0,02)
---->
1.215,84 = 4.243,17*[n - (1,02^n-1)/(1,02^n*0,02)
---->
1.215,84/4.243,17 = [n - (1,02^n-1)/(1,02^n*0,02)
---->
0,286540487 = n - (1,02^n-1)/(1,02^n*0,02)
---->
(0,286540487 - n)*(1,02^n*0,02) = - (1,02^n-1)
---->
0,286540487*1,02^n*0,02 - n*1,02^n*0,02 = 1 - 1,02^n
---->
0,00573081*1,02^n - n*1,02^n*0,02 = 1 - 1,02^n
---->
0,00573081*1,02^n - n*1,02^n*0,02 + 1,02^n = 1
---->
1,02^n*(0,00573081 - 0,02*n + 1) = 1
---->
1/(1,02^n) = 0,00573081 - 0,02*n + 1
---->
1/(1,02^n) = 1,00573081 - 0,02*n
---->
1/(1,02^n) + 0,02*n - 1,00573081 = 0

Todo
este malabarismo algébrico levou-me a uma equação não resovível por
meios convencionais. No momento, só me ocorre aplicar-lhe o método de
experimentação (tentativa e erro), para chegar ao valor de n. Para isso,
se considerarmos o primeiro membro desta equação como uma função de n,
temos:

f(1) = 1/(1,02^1) + 0,02*1 - 1,00573081 = - 0,005338653
f(2) = 1/(1,02^2) + 0,02*2 - 1,00573081 = - 0,004562029
f(3) = 1/(1,02^3) + 0,02*3 - 1,00573081 = -0,003408475
f(4) = 1/(1,02^4) + 0,02*4 - 1,00573081 = -0,001885384
f(5) = 1/(1,02^5) + 0,02*5 - 1,00573081 = 0

Logo, n = 5

Um abraço.

Olá, caro jota-r, boa noite!

Meus parabéns por apresentar aqui essa sua engenhosa solução; digo engenhosa porque a questão é mesmo irresolvível por meios algébricos normais.

Valeu, amigo, continue assim, sempre lutando por conseguir resolver esses 'pepinos' que têm aparecido pedindo solução.





Um abraço.