Hipérbole equilátera

Considere, no 1º quadranre de um sistema xOy, o ramo da hipérbole equilátera x.y = k ( k = constante)

1) Qual é a distância mínima da curva à origem?
2) Qual é a área do círculo tangente à curva e aos dois eixos?


Resposta

1) d = \/(2k)

2) S = 2*k*pi*(3 - 2*\/2)

1º quadrante -> hipérbole equilátera : x*y = k

1) a distância mínima da curva à origem será a distância do vértice da hipérbole à origem.

temos:

x*y = ( d²/2 ) = k

d²/2 = k -> d² = 2*k -> d = \/2k

2) círculo que tangencia a curva e os dois eixos coordenados:

( d - R ).....R
-------- = ---------
....d...........y

y² + y² = d² -> y² = d²/2 -> y = ( d*\/2 )/2

( d - R )........R
----------= -----------
....d.............( d/\/2)


(\/2k - R )............R
---------- = -------------
\/2k.............[(\/2k)/(\/2)]

( \/2k - R )*([(\/2k)/(\/2) ] = R*\/2k

(\/2k)*(\/2k) - ( \/2k)*R = R*(\/2)*(\/2k)

\/2k - R = (\/2)*R

\/2k = R + R*\/2

R *( 1 + \/2 ) = \/2k

R = [ ( \/2k )]/( 1 + \/2 )


Área do círculo = pi*R² = pi* [ 2k / (3 + 2*\/2) ]

.............2k*pi...............2k*pi*( 3 - 2*\/2 )...............2k*pi *( 3 - 2*\/2 )
Área = -------------- = -------------------------- = --------------------- =
............( 3 + 2*\/2 )......( 3 + 2*\/2 )( 3 - 2*\/2 ).........9 - 8

Área = 2k*pi*( 3 - 2*\/2 )



Sei que não concorda com o gabarito mas não consigo achar meu erro.

Meu grande amigo José Carlos:

Não existe erro algum nos seus cálculos.
O que acontece é que você é um grande preguiçoso (ahahah): você não se deu ao trabalho de racionalizar:

...................2*k*pi ............ 2*k*pi*(3 - 2*\/2)
Área = ---------------- = ------------------------------- = 2*k*pi*(3 - 2*\/2)
............... (3 + 2*\/2) ..... (3 + 2*\/2)*(3 - 2*\/2)

Para quem não entendeu a solução do José Carlos vou mostrar outra:

A hipérbole mostrada é simétrica em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares -----> y = x

a) O ponto de encontro desta reta com a hipérbole (vértice V da hipérbole) é dado por:

x.y = k ----> x*x = k ----> x = \/k ----> y = \/k -----> Vértice V(\/k, \/k)

d² = (\/k)² + (\/)k² -----> d² = 2k ----> d = \/(2k)

b) A equação da círcunferência (raio R) é: (x - R)² + (y - R)² = R²

Ela passa por V(\/k, \/k) ----> (\/k - R)² + (\/k - R)² = R² ----> 2*(\/k - R)² = R² ----> \/2*(\/k - R) = R ----> \/(2k) - \/2*R = R ---->

\/(2k) = R*(\/2 + 1) ----> 2k = (\/2 + 1)²*R² ----> 2k = (3 + 2*\/2)*R² ----> R² = 2k/(3 + 2*\/2) ----> R² = 2k*(3 - 2*\/2) ---->

pi*R² = 2*k*pi*(3 - 2*\/2) ----> S = 2*k*pi*(3 - 2*\/2)

Nossa, amigo Elcio, obrigado por esconder-me atrás da preguiça....hehehehe. Esse negócio de idade não anda me fazendo bem...