Geometria Espacial

Dado um cubo de aresta a, o angulo sob o qual um observador situado no centro do cubo vê a diagonal de uma das faces é:

R: um angulo cujo seno é 2√2/3

ricardo2012 escreveu:Dado um cubo de aresta a, o angulo sob o qual um observador situado no centro do cubo vê a diagonal de uma das faces é:

R: um angulo cujo seno é 2√2/3

diagonal da face: d² = a² + a² ----------> d = a√2
diagonal do cubo: D² = (a√2)² + a² -----> D = a√3

o centro do cubo fica no encontro das diagonais. Há quatro delas.
considerando os vértices ligados pela diagonal vista, do centro do cubo até eles a distância é D/2.

pela lei dos cossenos:

d² = (D/2)² + (D/2)² - 2*(D/2)*(D/2)*cos(t)
2a² = 3a²/4 + 3a²/4 - 2*(a√3/2)*(a√3/2)*cos(t)
2a² = 3a²/2 - (3a²/2)*cos(t)
2a² = (3a²/2)*(1-cos(t))
4/3 = 1-cos(t)
cos(t) = -1/3 ..................... já percebemos que o ângulo procurado é maior que 90º

sen²(t) = 1-cos²(t) -----> sen(t) = √(8/9) -----> sen(t) = 2√2/3