Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial)

por May007 Dom 06 maio 2012, 12:49

Calcule o valor de K para que o sistema a seguir tenha solução diferente da trivial.

3x + y + z = 0
2x + (2-k)y + 2z = 0
x + y + (1-k)z = 0

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Não tem gabarito a questão, e poderiam me explicar o que uma solução diferente da trivial? o que é trivial? Obrigada!

por jclerk Dom 06 maio 2012, 13:55

Solução trivial é aquela onde todas as variáveis assumem o valor 0 (zero).
Ex: x - 2y = 0, esta equação admite a solução trivial, ou seja: x = y = 0;
Todo sistema homogêneo(com o vetor do lado direito igual ao vetor nulo) admite a solução trivial, também podendo admitir outras soluções diferentes da trivial.

Vamos à questão!

$Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%203x%20&+y%20&+z%20&=%200%20\\%202x%20&+(2%20-%20k)y%20&+2z%20&=%200%20\\%20x%20&+y%20&+(1-k)z%20&=%200%20\end{matrix}\right$

Fazendo a Eliminação de Gauss no sistema, obteremos:

$Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Gif.latex?\left\{\begin{matrix}%201x%20&1y%20&(1-k)z%20&=%200%20\\%20&-%20ky%20&%20&=%200%20\\%20&%20&(3k-2)z%20&=%200%20\end{matrix}\right$

Para que o sistema admita uma solução diferente da trivial, temos que:
$Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Gif$ .

Dessa forma, o sistema passa a ter soluções parametrizadas da forma:

$Sistemas Lineares (Solução diferente da trivial) Gif$ .

por danjr5 Dom 06 maio 2012, 14:09

Jclerk,

calculando o determinante do sistema dado, temos:

k = 0

k = 2

por Convidado Dom 06 maio 2012, 14:11

Solução trivial é quando se tem um sistema linear homogêneo (termos independentes de cada equação igual à zero) e o determinante do sistema é diferente de zero e portanto a solução do sistema será:
S={0,0,0,0,0,0...}
Portanto, pela definição que eu lhe dei, para a solução não ser trivial, o determinante do sistema dever ser igual a zero.
$\large \begin{bmatrix} 3 & 1 &1 \\ 2 &(2-k) &2 \\ 1& 1 &(1-k) \end{bmatrix}=0\\ 3(2-k)(1-k)+2+2-(2-k)-2(1-k)-6=0\\ 3k^2-9k+6+4-2+k-2+2k-6=0\\ 3k^2-6k=0\\ 3k(k-2)=0\to k=0\vee k=2$
Obs.: Como não é uma solução trivial, existem infinitas soluções