Álgebra Matricial (Determinante da Matriz de Vandermonde)

por **JOAO [ITA]** Sex 27 Abr 2012, 14:06

Demonstre que:

$Álgebra Matricial (Determinante da Matriz de Vandermonde) Gif.latex?%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20&1%20&1%20%5C%5C%20x%20&y%20&z%20%5C%5C%20x%5E2%20&y%5E2%20&z%5E2%20%5Cend%7Bbmatrix%7D=%28y-x%29.%28z-y%29$

por **luiseduardo** Sex 27 Abr 2012, 20:13

Uma primeira ideia poderia usar Chió e calcular a determinante:

a)
(y-x)(z² - x²) - (z - x)(y² - x²)

(y-x)(z-x)(z+x) - (z-x)(y-x)(y+x)

(y - x)(z-y)(z-x)

por **Elcioschin** Sex 27 Abr 2012, 21:14

JOÃO

Por favor, leia oRegulamento do fórum no alto desta página.
Você descumpriu uma ds regras: posto mais do que uma questão no seu tópico
Apaguei a segunda questão

Outra solução

LInha 2 - x*Linha 1
Linha 3 - x²*Linha 1

Obtém-se outro determinante

1 ............... 1 .................. 1
0 ............ y - x ............. z - x
0............ y² - x² ........... z² - x²

Substitua y² - x² por (y - x)*(y + x) e (z² - x²) por (z - x)*(z + x)

L3 - (y + x)*L2

Obtém-se outro determinante

1 ............... 1 .................. 1
0 ............ y - x ............. z - x
0................ 0 ........... (z - x)*(z - y)

Basta agora multiplicar os termos da diagonal principal

por **JOAO [ITA]** Sex 27 Abr 2012, 21:31

Obrigado por avisar Mestre Elcioschin.

Consegui resolver da seguinte forma:

1) Multipliquei toda a primeira coluna por -1 e somei às outras colunas:

$\begin{bmatrix} 1 &1 &1 \\ x &y &z \\ x^2 &y^2 &z^2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ x &y-x &z-x \\ x^2 &y^2-x^2 &z^2-x^2 \end{bmatrix}=\\ \begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ x &y-x &z-x \\ x^2 &(y+x).(y-x) &(z+x).(z-x) \end{bmatrix}$

2) Usei o Teorema de Laplace:

$Det\begin{bmatrix} 1 &0 &0 \\ x &y-x &z-x \\ x^2 &(y+x).(y-x) &(z+x).(z-x) \end{bmatrix}= \\ \\ a_{11}.Det\,A_{-1,-1}+a_{12}.Det\,A_{-1,-2}+a_{13}.Det\,A_{-1,-3}=\\ \\ (1).Det\begin{bmatrix} y-x &z-x \\ (y+x).(y-x) &(z+x).(z-x) \end{bmatrix}=\\ \\ (y-x).(z+x).(z-x)-(z-x).(y+x).(y-x)= \\ \\ (y-x).(z-x).[(z+x)-(y+x)]=\\ \\ (y-x).(z-y).(z-x)\,\,\,\,\,\,\,C.Q.D$

OBS: Consegui demonstrar a segunda do mesmo modo.