(FUVEST) O polinômio x^4 + x² -2x + 6

(FUVEST) O polinômio x^4 + x² -2x + 6 admite 1+i como raiz, onde i²=-1. O número de raízes desse polinômio é:
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

Esse polinômio possui todos os seus coeficientes reais. Então se 1 + i é raiz desse polinômio, então sua conjugada, ou seja, 1 - i também é raiz.
Vamos fatorar isso. Lembrando que na fatoração temos as raízes e uma equação do segundo grau.
(x - 1 - i)(x - 1 + i)(ax² + bx + c) = x^4 + x² - 2x + 6
Temos uma diferença de quadrados ali. Assim...
(x² - 2x + 1 + 1)(ax² + bx + c) = x^4 + x² - 2x + 6
(x² - 2x + 2)(ax² + bx + c) = x^4 + x² - 2x + 6
ax^4 + bx³ + cx² - 2ax³ - 2bx² - 2cx + 2ax² + 2bx + 2c = x^4 + x² - 2x + 6
a = 1
b - 2a = 0 -> b - 2 = 0 -> b = 2
c - 2b + 2a = 1 -> c - 4 + 2 = 1 -> c - 2 = 1 -> c = 3
Para confirmar...
- 2c + 2b = - 2 -> - 6 + 4 = - 2 (Verdadeiro.)
2c = 6 -> c = 3 (Verdadeiro.)

Então a forma fatorada é assim:
(x - 1 - i)(x - 1 + i)(x² + 2x + 3)

Quais são as raízes dessa equação? Vamos descobrir.
∆ = 4 - 12 = - 8
x = - 2 + 8i / 2 = - 1 + 4i
ou
x = - 2 - 8i / 2 = - 1 - 4i

Ou seja, há quatro raízes nesse polinômio. Letra E.

Espero ter ajudado. ^_^

Agente Esteves

Vou simplificar:

O enunciado perguntou apenas sobre o número de raízes

Como a equação é do 4ª grau, ela tem 4 raízes

A resposta diz que é letra A :/

A alternativa A conduz a um absurdo, já que o próprio enunciado afirmou que 1 + i é raiz.

(FUVEST) O polinômio x^4 + x² -2x + 6 admite 1+i como raiz, onde i²=-1. O número de raízes desse polinômio é:
a)0 b)1 c)2 d)3 e)4

É impossivel ser a letra (A) com apenas parte da questão, até porque ele ja deu uma das raizes.

Se a resposta é letra (A), então completo o enunciado aqui escrito.
Onde lê-se "O número de raízes desse polinômio é" , lê-se :

"O número de raízes REAIS desse polinômio é"

Assim teremos o gabarito como letra (A), visto que todas raizes encontradas são complexas e foram :

-1 + 4i,-1 - 4i,1 + i e 1 - i.

Ah, sim... São as raízes REAIS.

E, mestre Elcioschin, eu só quis ver se não tinha raiz dupla real. Se é que não precisava de tudo, mas fica aí. XD

Obrigada pela ajuda, Henrique. =]

Agente Esteves, então não preciso mostrar que tem raízes que você fez? para dizer que não tem raízes reais?

Para você mostrar quantas raízes reais existem, basta você chegar a parte que eu calculo o delta. Quando o delta dá negativo, então você vê que não há raízes reais ali e que, portanto, seria a letra A. =]

A sim, MUITO OBRIGADA a todos