Produtos entre vetores

por renato formigoni Ter 24 Abr 2012, 18:11

Dados os
vetores u = (2, 1, -1) e v = (1, -1, a), assinale a alternativa correta que
expressa o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v
seja igual a raiz de 62.

por **Agente Esteves** Ter 24 Abr 2012, 18:30

Vamos lá. A área do paralelogramo determinado por dois vetores diferentes é o módulo de seus produtos vetoriais. Então...
$|\vec{u} \times \vec{v}| = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & a \end{vmatrix} = (a - 1, - 2a - 1, - 3)$
O módulo disso deve ser igual a raiz de 62.
$|a - 1, - 2a - 1, - 3| = \sqrt{(a - 1)^2 + (- 2a - 1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{a^2 - 2a + 1 + 4a^2 + 4a + 1 + 9} = \sqrt{5a^2 + 2a + 11} \Rightarrow \sqrt{5a^2 + 2a + 11} = \sqrt{62} \Rightarrow 5a^2 + 2a + 11 = 62 \Rightarrow 5a^2 + 2a - 51 = 0$
Daí...
$5a^2 + 2a - 51 = 0 \Rightarrow \Delta = 4 + 1020 = 1024 \Rightarrow a = \frac{- 2 \pm 32}{10}$

a = 3 ou a = - 17/5

Espero ter ajudado. ^_^