progressão geométrica

Numa progressão geométrica de 20 termos, a soma dos
termos de ordem ímpar é o triplo da soma dos termos de
ordem par. Se o primeiro termo é igual a 9, então o terceiro
termo é:
a) 1 c) 9
b) 3 d) 18

Bruna Barreto escreveu:Numa progressão geométrica de 20 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é o triplo da soma dos termos de ordem par. Se o primeiro termo é igual a 9, então o terceiro termo é:
a) 1 c) 9
b) 3 d) 18

Bom dia, Bruna!

Façamos a razão dessa PG igual a "q".
Si = soma dos termos de ordem ímpar
Sp = soma dos termos de ordem par

Si = 9 + 9q² +9q⁴ + ... + 9q¹⁸
Sp = 9q + 9q³ + 9q⁵ + ... + 9q¹⁹

S = a1*(q^n - 1)/(q - 1)

Si = 9*(q^¹º - 1)/(q - 1)
Sp = 9q*(q^¹º - 1)/(q - 1)

Simplificando, fica:
Si/Sp = 9/9q = 1/q
Si/Sp = 3

1/q = 3
1 = 3q
q = 1/3

a³ = 9q²
a³ = 9*(1/3)²
a³ = 9*(1/9)
a³ = 1

Alternativa (a)






Um abraço.

Ivomilton desde já agradeço!
mas eu nao entendi muito bem pq o elevou a razao a 10 na soma, daonde o Sr.. achou 10 termos?

Obrigado jesselp!

na Barreto Hoje à(s) 12:14

Ivomilton
eu nao entendi muito bem pq o elevou a razao a 10 na soma, daonde o Sr.. achou 10 termos?
E se fosse numero ímpar de termos?

Bruna Barreto escreveu:Ivomilton desde já agradeço!
mas eu nao entendi muito bem pq o elevou a razao a 10 na soma, daonde o Sr.. achou 10 termos?

Bom dia, Bruna.

Em simplesmente contei, mesmo porque se são 20 termos ao todo (número par de termos), devemos ter 10 na ordem ímpar e 10 na ordem par.
Mas também pode-se determinar desta maneira:

an = a1*q^(n-1)

q = q^2 (em ambas as PG's)

Calculando "n" da primeira PG:
9 + 9q² +9q⁴ + ... + 9q¹⁸

9q¹⁸ = 9*q^2(n-1)
9q¹⁸ = 9*q^(2n-2)

Cancelando os "9, fica:
q¹⁸ = q^(2n-2)

Bases iguais, expoentes iguais...
18 = 2n - 2
2n = 18 + 2 = 20
n = 20/2
n = 10


NOTA: Se o número total de termos fosse ímpar, teríamos um termo a mais na quantidade dos ímpares; veja:

PG:: i : p : i : p : i : p : i → temos, neste exemplo, 7 termos no total; começa com ímpar e termina com ímpar; logo, nesses casos sempre teremos uma quantidade de termos ímpares excedendo de 1 unidade a quantidade de termos pares. Neste exemplo, 4 ímpares e 3 pares.

Assim, partindo do total de 7 termos na PG (quantidade ímpar, portanto), teremos:
quantidade de termos ímpares = (7+1)/2 = 8/2 = 4
quantidade de termos pares = (7-1)/2 = 6/2 = 3






Um abraço.