geometria analítica

Suponha que (u,v,w) é LI.Dado t, existem a,b,c tais que t = au+bv+cw.
Prove que (u+t,v+t,w+t) é LI se, e somente se, a + b + c + 1 é diferente de 0.

Se (u,v,w) é LI, então podemos escrever o vetor nulo como combinação linear de (u,v,w) se, e se somente se, os coeficientes da combinação forem todos iguais a zero.
δu + λv + μw = 0 ; (δ,λ,μ) = (0,0,0)

Se (u+t,v+t,w+t) é LI, então α(u+t) + β(v+t) + γ(w+t) = 0 se, e se somente se, (α,β,γ) = (0,0,0)

t = au+bv+cw

Supondo (u+t,v+t,w+t) LI:

α(u+t) + β(v+t) + γ(w+t) = 0
αu + βv + γw + t(α+β+γ) = 0
αu + βv + γw +(au+bv+cw)(α+β+γ) = 0
αu + βv + γw + α(au+bv+cw) + β(au+bv+cw) + γ(au+bv+cw) = 0
(α + a(α+β+γ)u + (β + b(α+β+γ)v + (γ + c(α+β+γ)w= 0
Como (u,v,w) é LI ==>
(α + a(α+β+γ) = 0
(β + b(α+β+γ) = 0
(γ + c(α+β+γ) = 0
Somando as equações
(α+β+γ) + a(α+β+γ) + b(α+β+γ) + c(α+β+γ) = 0
(α+β+γ)(1+a+b+c) = 0
(α,β,γ) = (0,0,0), então (1+a+b+c) ≠ 0

arimateiab escreveu:Se (u,v,w) é LI, então podemos escrever o vetor nulo como combinação linear de (u,v,w) se, e se somente se, os coeficientes da combinação forem todos iguais a zero.
δu + λv + μw = 0 ; (δ,λ,μ) = (0,0,0)

Se (u+t,v+t,w+t) é LI, então α(u+t) + β(v+t) + γ(w+t) =  0 se, e se somente se, (α,β,γ) = (0,0,0)

t = au+bv+cw

Supondo (u+t,v+t,w+t) LI:

α(u+t) + β(v+t) + γ(w+t) =  0
αu + βv + γw + t(α+β+γ) = 0
αu + βv + γw +(au+bv+cw)(α+β+γ) = 0
αu + βv + γw + α(au+bv+cw) + β(au+bv+cw) + γ(au+bv+cw) = 0
(α + a(α+β+γ)u + (β + b(α+β+γ)v + (γ + c(α+β+γ)w= 0
Como (u,v,w) é LI ==>
(α + a(α+β+γ) = 0
(β + b(α+β+γ) = 0
(γ + c(α+β+γ) = 0
Somando as equações
(α+β+γ) + a(α+β+γ) + b(α+β+γ) + c(α+β+γ) = 0
(α+β+γ)(1+a+b+c) = 0
(α,β,γ) = (0,0,0), então (1+a+b+c) ≠ 0

Acho que nao entendi o final, α,β,γ ser nulo nao implica a nao nulidade do outro termo, quer dizer
0*a = 0 nao implica a ser diferente de zero, alguem pode ajudar?

Lucasdeltafisica escreveu:Acho que nao entendi o final, α,β,γ ser nulo nao implica a nao nulidade do outro termo, quer dizer
0*a = 0 nao implica a ser diferente de zero, alguem pode ajudar?

Olá Lucas, não fui eu quem deu a resposta, porém creio que posso ajudar nesta segunda dúvida. 
A resolução da equação (α+β+γ)(1+a+b+c)=0 é dada pelas seguintes possibilidades:

Caso 1 - (a+b+c+1)=0:
Implica que (α+β+γ) pode assumir qualquer valor real, o que contradiz a hipótese inicial de que (u+t,v+t,w+t) é L.I e portanto deve ser desconsiderado.

Caso 2 - (α+β+γ)=0:
Implica que (a+b+c+1) pode assumir qualquer valor real EXCETO 0 pois recai-se no caso 1, o que também desconsidera o caso em que (a+b+c+1)=0 e (α+β+γ)=0 simultaneamente.

Além do mais, esta seria apenas a primeira parte do exercício, falta ainda provar a recíproca da proposição inicial, isto é, provar que se (a+b+c+1) diferente de 0 então (u+t,v+t,w+t) é L.I. Veja:

Partindo da equação (α+β+γ)(1+a+b+c)=0, como (a+b+c+1) diferente de 0 então (α+β+γ)=0 e portanto α=-β-γ

Supondo, por exemplo, α diferente de 0 (poderia ser β ou γ também), temos pela primeira parte do exercício que
α+a(α+β+γ)=0. Isto é:
 -β-γ+a(-β-γ+β+γ)=-β-γ=0 que implica em β=-γ
Mas essa última igualdade implica que -β-γ=0=α. O que é absurdo pois supomos α diferente de 0, resultando que α=β=γ=0 e consequentemente que (u+t,v+t,w+t) é L.I. Como queríamos demonstrar.

Espero ter ajudado, abraço.