Parábola - questão UNIFESP

por alê; Sex 06 Abr 2012, 23:22

(UNIFESP) A parábola y = x² - nx + 2 tem vértice no ponto (Xn, Yn). O lugar geométrico dos vértices da parábola, quando n varia no conjunto dos números reais, é

a) uma parábola. b) uma elipse. c) um ramo de uma hipérbole. d) uma reta. e) duas retas concorrentes.

alternativa correta: a)

por Matheus Brito 2014 Sex 11 Set 2015, 08:14

Então, eu não consegui resolver a questão inteira. Vou deixar aqui até onde eu fiz e esperar que seja útil para alguém que saiba como terminar.

*Convertendo a equação y = x² - nx + 2 para a forma "padrão" da equação da parábola:

y= x² - 2.x.(n/2) +2

Perceba que se tivéssemos (n/2)², poderíamos usar produtos notáveis. Então, vamos somar esse termo aos 2 lados da equação:

y + (n/2)² = x² - 2.x(n/2) + 2 + (n/2)²

Reorganizando, temos:

y + (n/2)² = (x² - 2.x(n/2) + (n/2)²) + 2

y + (n/2)² = (x - (n/2))² +2

y + (n/2)² - 2 = (x - (n/2))²

y - (2 - (n/2)²) = (x - (n/2))²

(x - (n/2))² = y - (2 - (n/2)²)

*Então o vértice (Xn; Yn) é ((n/2) ; (2 - (n/2)²))

Paro por aqui. Pois não sei como, a partir disso, podemos deduzir que, variando n nos reais, vamos obter uma parábola. Espero que esteja correto e seja útil.

por **petras** Seg 14 Ago 2023, 16:27

[latex]\\x_v=\frac{t}{2} \implies t=2x(I))\\ y_v= \frac{t^2}{4}-\frac{t^2}{2}+2 = -\frac{(t^2 - 8 )}{4} \implies y = \frac{-(2x)^2 + 8}{4}=\\ \frac{-4x^2 + 8}{4}=-x^2+2(Eq.parabola) [/latex]

(Solução:Objetivo)

por Lucas_DN684 Sáb 26 Ago 2023, 02:55

Complementando as generosas contribuições dos colegas, resta apenas demonstrar que o conjunto S representa os pontos de uma parábola, onde:

[latex]S=\left \{ \left ( x_{n},y_{n} \right )\in \mathbb{R}^{2}\mid \left ( x_{n},y_{n} \right )=\left ( \frac{n}{2},2-\frac{n^{2}}{4} \right ),n\in \mathbb{R}\right \}[/latex]

Variando n nos inteiros {-4,-2,0,2,4,8}, temos os pontos {(0,2), (1,1), (2,-2), (-1,1), (-2,-2) e (4,-14)}. Note que se esboçarmos esses pontos num sistema cartesiano já veremos a parábola saltando aos nossos olhos, como podemos verificar aqui.

Mas a equação geral duma cônica é da forma Ax² + By² + Cxy + Dx +Ey +F=0, então se substituirmos todos os pontos na equação, acharemos uma expressão geral. Ora, fornecendo esses dados a um software do sistema 6x6, como vemos aqui, temos que:

[latex]-\frac{1}{2}Fx^{2}-\frac{1}{2}Fy+F=0,F\neq 0\Leftrightarrow -\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}y+1=0[/latex]

Que é, sem sombra de dúvidas, uma equação de parábola, cujo gráfico assemelha-se ao primeiro esboço; confira aqui.

Nesse sentido, está provada a nossa hipótese.

por **Elcioschin** Sáb 26 Ago 2023, 20:58

Uma análise diferente de y = x² - n.x + 2

Para valores reais de n:

1) O termo em x² não muda
2) Para n = 0 ---> y = x² + 2 ---> Raízes imaginárias
3) ∆ = b² - 4.a.c ---> ∆ = (-n)² - 4.1.2 ---> ∆ = n² - 8

3.1) Para n = - 2.√2 ou para n = 2.√2 ---> ∆ = 0 --> Duas raízes reais iguais

3.2) Para n < - 2√2 ou n > 2√2 ---> Duas raízes reais diferentes

3.3) Para - 2.√2 < n < 0 ou 0 < n < 2.√2 ---> Raízes complexas

Logo, sempre será uma parábola.