(AFA) Determinar a imagem da função real f definida por f(x) = x-2/2-x

Relembrando a primeira mensagem :

Pessoal expliquem detalhadamente pois tenho muitas dúvidas para encontrar a imagem das funções.
Obrigado.

A imagem de uma função é o domínio de sua função inversa.

Seja f(x) = y = (x - 2)/(2 - x), um método prático para achar a inversa é o seguinte:

1)Isolar x:
y = (x - 2)/(2 - x) <=> x - 2 = 2.y - y.x <=> x = [2.(y + 1)]/(y + 1)

2) Troca-se x por y e y por x:
y = [2.(x + 1)]/(x + 1)

Assim, a função inversa é dada por f^(-1)(x) = [2.(x + 1)]/(x + 1)

O domínio de f^(-1)(x) é dado pela condição de que o denominador da mesma seja diferente de zero:
x + 1 ≠ 0 <=> x ≠ -1

Portanto o domínio da função inversa é dado por:D = R - {-1} e, consequentemente a imagem da função original é:
Im = R - {1}.

Entendi.

Muito obrigado aos dois pela atenção!

Att.,
Pedro

João, isso me confundiu.
Sempre resolvi as questões deste tipo assumindo que a imagem são os possíveis resultados da função.

Agora não sei. Quando pedido a imagem, quando saber se devo calcular da maneira que você me mostrou, ou assumir que são os resultados possíveis da função?

Acho que você está confundindo imagem com domínio.

Para ilustrar esse conceito eu vou passar um exemplo que se costuma mostrar quando se introduz o assunto 'Função'.

Imagine dois conjuntos A e B tal que:
A = {-3, 1, 2, 3} e B = {1, 4, 5, 9}

Agora observe o diagrama abaixo que representa uma f: A->B :





O conjunto A é chamado domínio da função, ou seja: D(f) = {-3, 1, 2, 3}.

A imagem é representada pelos elementos do conjunto B que receberam a seta, ou seja: Im(f) = {1, 4, 9}.

E, por último, o contradomínio é representado pelo conjunto B: CD(f) = {1, 4, 5, 9}.

Agora, vou mostrar outro exemplo:

*)Dada a função f(x) = (x + 1)/(x + 2) com CD(f) = R, qual é o domínio e a imagem da função ?

O domínio de f(x) é encontrado quando se impõe a mesma restrições que, se não satisfeitas, causam indeterminações.

Nesse caso a restrição é: x + 2 ≠ 0, pois o denominador, obviamente, não pode ser 0.
Assim: x ≠ -2 e o domínio da função é D(f) = R - {-2}.

A imagem é obtida quando se segue o processo que eu mostrei na outra mensagem:

1)Isolar o 'x': y = (x + 1)/(x + 2) <=> y.x + 2.y = x + 1 <=> x = (1 - 2.y)/(y - 1).

2)Trocar 'x' por 'y' e 'y' por 'x': y = (1 - 2.x)/(x - 1) => f^(-1)(x) = (1 - 2.x)/(x - 1)

3)Encontrar o domínio de f^(-1)(x):
A restrição deve ser: x - 1 ≠ 0 <=> x ≠ 1 => D(f^(-1)) = R - {1} => Im(f) = R - {1}.

Nem é confusão, é desconhecimento mesmo D:

O domínio eu sabia, basicamente são os valores que x pode assumir sem "comprometer" a função real.

Mas o que significa que a imagem não pode assumir o valor de -1? No domínio, como exemplo esse caso, se ele assumir o valor de 2, a função não será uma função real. Mas e a imagem, tem um porquê dela não poder assumir o valor e -1?

Tente obter o domínio e a imagem da função f(x) = 1/x sabendo que CD(f) = R e, depois, observe a função plotada num eixo xOy e perceba que a imagem é dada por todos os valores "alcançados" no eixo y enquanto o domínio são todos os valores "alcançados" no eixo x.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%3D+1%2Fx

JOAO [ITA] escreveu:A imagem de uma função é o domínio de sua função inversa.

Queria confirmar, essa propriedade é verdade mesmo? É porque nunca havia ouvido falar sobre isso. Se for, isso vai ajudar muito hahaha