Produto de dois números e seu mmc

O produto de dois números é 4320 e o mmc é 360. Ache os dois números.

Obrigado,
Ivo

Sr. Ivomilton, diante desta questão a minha ótica é a seguinte:

O produto de dois números é 4320, ou seja, XY = 4320

O mmc é 360 --> note que X e Y são divisiveis por um mesmo divisor. Caso contrario teríamos o mmc da seguinte maneira XY=360, o que estaria em desacordo com a condição do problema. Então:
O mmc será: X*Y/X=360 --> Y=360

X*360=4320

X=12

Um número será 12 e o outro 360

Cleyton escreveu:Sr. Ivomilton, diante desta questão a minha ótica é a seguinte:

O produto de dois números é 4320, ou seja, XY = 4320

O mmc é 360 --> note que X e Y são divisiveis por um mesmo divisor. Caso contrario teríamos o mmc da seguinte maneira XY=360, o que estaria em desacordo com a condição do problema. Então:
O mmc será: X*Y/X=360 --> Y=360

X*360=4320

X=12

Um número será 12 e o outro 360

Uma dica: o produto do mmc pelo mdc dos dois números é igual ao produto dos dois números.
Com certeza que X e Y são divisíveis por um mesmo divisor, o mdc de ambos.
Outra dica: o problema tem mais de uma resposta.
Um abraço,
Ivo

O produto de dois números é 4320 e o mmc é 360. Ache os dois números.

Obrigado,
Ivo

x * y = 4320
x * y = 2^5 * 3³ * 5

mmc(x, y) = 360
mmc(x, y) = 2³ * 3² * 5

O mmc é dado pelos maiores expoentes das bases comuns, e, as bases q não são comuns.
x = 2³ * 3² * 5
y = 2² * 3
então,
x = 360
y = 12

outro valor:
x = 2³ * 3
y = 2² * 3² * 5
então,
x = 180
y = 24

danjr5 escreveu:

O produto de dois números é 4320 e o mmc é 360. Ache os dois números.

Obrigado,
Ivo

x * y = 4320
x * y = 2^5 * 3³ * 5

mmc(x, y) = 360
mmc(x, y) = 2³ * 3² * 5

O mmc é dado pelos maiores expoentes das bases comuns, e, as bases q não são comuns.
x = 2³ * 3² * 5
y = 2² * 3
então,
x = 360
y = 12

outro valor:
x = 2³ * 3
y = 2² * 3² * 5
então,
x = 180
y = 24

Boa noite, danjr5!

Muito bom! E quais seriam todas as respostas, todos os pares (x,y) que resolvem a questão?


Um abraço,
Ivo

Ola Ivo Milton ,
boa noite!

x = 360
y = 12
(360, 12)

x = 360/2 = 180
y = 12 * 2 = 24
(180, 24)

x = 180/2 = 90
y = 24 * 2 = 48
(90, 48)

x = 90/2 = 45
y = 48 * 2 = 96
(45, 96)

danjr5 escreveu:Ola Ivo Milton ,
boa noite!

x = 360
y = 12
(360, 12)

x = 360/2 = 180
y = 12 * 2 = 24
(180, 24)

x = 180/2 = 90
y = 24 * 2 = 48
(90, 48)

x = 90/2 = 45
y = 48 * 2 = 96
(45, 96)

Olá, boa noite danjr5!

Só o último não pode ser, pois o mmc(45,96) = 1440.
Só falta agora o amigo encontrar a última resposta!

Grande abraço,
Ivo

olá,
não sei se é a última resposta porque não resolvi por métodos ortodoxos mas tenho certeza de que é uma das respostas:
(60, 72)

Medeiros escreveu:olá,
não sei se é a última resposta porque não resolvi por métodos ortodoxos mas tenho certeza de que é uma das respostas:
(60, 72)

Boa noite, Medeiros.

Sim, era essa a que faltava, pois são quatro as respostas.
Esta foi a minha resolução no Yahoo!Respostas:
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O produto de dois números é igual ao produto de seu mmc pelo seu mdc.

x, y = os números
mdc(x,y) = 4320/360 = 12
mmc(x,y) = 360 = 2³.3².5
mdc(x,y) = 12 = 2².3

Ambos os números devem conter o respectivo mdc (=2².3), portanto:

x = 2².3.m
y = 2².3.n

O mmc, por sua vez, é igual ao produto de todos os fatores primos dos dois números (comuns e não comuns) com seus maiores expoentes.

Ora, o mmc = 2³.3².5, onde o fator 2 tem expoente 3 (uma unidade a mais que o mdc), o fator 3 tem expoente 2 (também uma unidade a mais que o mdc) e o fator 5 (que não existe no mdc).

Logo, falta incluir nos nossos números "x" e "y" acima, um fator 2, um fator 3 e um fator 5, que deverão ser distribuídos entre os fatores faltantes "m" e "n".

Poderemos ter, então:

m = 2.3; n = 5
m = 2.5; n = 3
m = 3.5; n = 2

Assim, os valores de "x" e de "y" poderão ser:

x = 2².3 . 2.3 = 2³.3² = 8.9 = 72
y = 2².3 . 5 = 2².3.5 = 4.3.5 = 60

ou

x = 2².3 . 2.5 = 2³.3.5 = 8.3.5 = 120
y = 2².3 . 3 = 2².3² = 4.9 = 36

ou

x = 2².3 . 3.5 =2².3².5 = 4.9.5 = 180
y = 2².3 . 2 = 2³.3 = 8.3 = 24

ou

x = 2².3 . 2.3.5 = 2³.3².5 = 8.9.5 = 360
y = 2².3 = 12

Conclusão:

O problema admite 4 soluções.
Os dois números poderão ser um destes quatro pares:

72 e 60; 120 e 36; 180 e 24; 360 e 12.
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Um abraço,
Ivo.

Boa noite, Ivo.

Solução perfeita. Estranhei quando você recusou o par (95,46) e não glosou o par (90,48) da resposta do Danjr5, pois este último também não atende.

Meu raciocínio foi muito semelhante ao seu porém fiz a operacionalização diferente. Sejam a e b os dois números.

ab = 4320
mmc(a,b) = 360
mdc(a,b) = 4320/360 = 12
portanto, a e b estão entre 12 e 360 -----> 12 <= a,b <= 360

mmc = 360 = 2³.3².5
mdc = 12 = 2².3
Logo, ao mdc faltam os termos: 2, 3 e 5.

mdc*1 = 12*1 ----> a = 12 ----> b = 4320/12 = 360 -----> 12, 360
mdc*2 = 12*2 ----> a = 24 ----> b = 4320/24 = 180 -----> 24, 180
mdc*3 = 12*3 ----> a = 36 ----> b = 4320/36 = 120 -----> 36, 120
mdc*5 = 12*5 ----> a = 60 ----> b = 4320/60 = 72 ------> 60, 72

E as respostas são somente essas quatro.

Um abraço.