Média harmônica

Sejam a,b,c números racionais. Se 2a é a média harmônica de b e c, mostre que a soma dos quadrados dos três números a,b e c é o quadrado de um número racional.

2a = 2/(1/b + 1/c)
2a = 2/[(b+c)/bc]
2a = 2bc/(b+c)
2a(b+c) = 2bc
2ab + 2ac = 2bc
2(ab+ac) = 2bc

a² + b² + c² = (a+b+c)² - 2(ab + bc + ac)
Como a,b,c sao racionais a+b+c é racional, logo (a+b+c)² tb é racional
a² + b² + c² = (a+b+c)² - 2(ab+ac) - 2bc
a² + b² + c² = (a+b+c)² - 4bc
O produto de dois números racionais é sempre racional, 4bc, pois seja b = p/q , e c = m/n temos b.c = pm/qn
Logo a² + b² + c² é racional.
Obs. creio que o enunciado há algum erro pq pegando um exemplo qualquer: a= 2, b = 3 ,c = 4:
(2+3+4)² - 4.3.4 = 81-48 = 33 que nao é quadrado perfeito..