Polinômios II

Sendo P e Q dois polinômios de mesma variável e de graus respectivamente iguais a m e n , e sendo m ≤ n, podemos afirmar que:
(A) a soma de P e Q é de graus m + n
(B) o produto de P por Q é de grau m⋅n
(C) a soma de P e Q é de grau m
(D) o quociente entre P e Q, caso exista é de grau m– n
(E) a diferença entre P e Q é de grau n

Alternativa E.

Ex.: (2x + 3) - (x² + x + 1) ----> - x² + x + 2

Olá Elcioschin,

Gostaria que o amigo, se possível, análisasse o entendimento:

No texto foi informado que sendo m ≤ n

A resposta postada faz menção a uma situação--->
1ª Situação: considerando m < n
Ex.: (2x + 3) - (x² + x + 1) ----> - x² + x + 2

A igualdade não deveria ser considerada?
2ª Situação m = n
Ex_2.: (x² + x -1) - (x² + x + 1) ----> - 2 ???

Natal

Você tem razão: eu não atentei para o detalhe do menor OU IGUAL.
Vou portanto analisar com mais cuidado todas as alternativas:

A) A soma de P Q é de grau m + n -----> Afirmação falsa:

P(x) = x² + 2x + 1 ----> m = 2
Q(x) = x² + x + 3 ----> n = 2
P(x) + Q(x) = 2x² + 3x + 4 ---> grau = 2 < m + n

B) Produto de P e Q é de grau m?n ----> Não dá pra entender o símbolo entre m⋅n

Se o símbolo for + a afirmação é verdadeira: No caso acima o grau de P(x) + Q(x) é 4 ----> m + n = 4

C) A soma de P e Q é de grau m ----> Afirmação falsa:

P(x) = x + 1 ----> m = 1
Q(x) = x³ + 2 ----> n = 3
P(x) + Q(x) = x³ + x + 3 ----> grau n = 3

D) O quociente entre P e Q, caso exista é de grau m – n ----> Afirmação falsa:

Usando o mesmo exemplo acima ---> (x + 1)/(x³ + 2) ----> quociente = 1 diferente de m - n = -2

E) A diferença entre P e Q é de gran n: Afirmação falsa conforme já mostrado por você.

P(x) = x² + x - 1 ---> m =
Q(x) = x² + x + 1 ----> n = 2
P(x) - Q(x) = - 2 ----> grau zero

Assim, aguardo sua informação esclarecendo que símbolo é aquele "quadradinho" entre m e n, para dar a palavra final.

Olá Élcio,

Desculpe, deveria ter digitado m*n (multiplicação).
Aproveitando o ensejo não entendi a seguinte explicação:
D) O quociente entre P e Q, caso exista é de grau m – n ----> Afirmação falsa:
Usando o mesmo exemplo acima ---> (x + 1)/(x³ + 2) ----> quociente = 1 diferente de m - n = -2
É possível tal divisão chegar a quociente 1.

Eu digitei errado, desculpe-me ----> é quociente 0

Vou mostrar primeiro um exemplo numérico:

17/3 = (15 + 2)/3 = 5 + 2/3 ----> Quociente = 5, Resto = 2

1/7 = (0 + 1)/7 = 0 + 1/7 ------> Quociente = 0, Resto = 1

No caso do polinômio:

(x + 3)/(x³ + 2) ----> Quociente = 0 , Resto = x + 3

Quanto à solução, como o correto é m*n a afirmação B é falsa:

P(x) = x + 2 -----> m = 1
Q(x) = x² + 1 ----> n = 2

P(x)*Q(x) = x³ + 2x² + x + 2 ----> Grau = 3 ----> diferente de m*n = 2

Neste caso TODAS as afirmações seriam falsas. o que é muito esquisito.
Vc tem certeza do enunciado?

Elcio,

Na solução
(x + 3)/(x³ + 2) ----> Quociente = 0 , Resto = x + 3
Esse mesmo procedimento caberia em situações possíveis, no exemplo abaixo teríamos duas soluções aceitas:
(x³ + 2)/(x³ + 2) ----> Quociente = 0 , Resto = x³ + 2
(x³ + 2)/(x³ + 2) ----> Quociente = 1 , Resto = 0

Mesmo no exemplo numérico apresentado, se ao invés do resultado supracitado, respondessemos o seguinte:
(x + 3)/(x³ + 2) ----> Quociente = x^-2 , Resto = -2x^-2 + 3

O raciocínio estaria errado??? na questão (D) ele faz um adendo de: "caso exista é de grau m– n"

Natal

Não consegui entender os seus questionamentos:

Esse mesmo procedimento caberia em situações possíveis, no exemplo abaixo teríamos duas soluções aceitas:
(x³ + 2)/(x³ + 2) ----> Quociente = 0 , Resto = x³ + 2
(x³ + 2)/(x³ + 2) ----> Quociente = 1 , Resto = 0

A primeira situação acima tem falhas: (x³ + 2)/(x³ + 2) ----> Quociente = 1 ---> Resto = 0 (Note que as duas situações são iguais)

Imagino que na primeira vc quisesse dizer: (x³ + 2)/(x^4 + 2) ----> Quociente= 0 , Resto = x³ + 2

Mesmo no exemplo numérico apresentado, se ao invés do resultado supracitado, respondessemos o seguinte:
(x + 3)/(x³ + 2) ----> Quociente = x^-2 , Resto = -2x^-2 + 3

Não acho que seja possível: Quando o grau do dividendo (1) é menor do que o grau do divisor (3) o quociente é nulo.


Quanto ao "caso exista" da afirmação D:

Não acho que esta frase esteja certa: acho que o quociente sempre existe, mesmo que ele seja nulo, salvo as exceções:

Se P(x) = 0 e Q(x) = 0 o quociente é indeterminado
Se apenas Q(x) = 0 o quociente não é definido (infinito)

Independente disto eu mostrei um exemplo em que o quociente existe (é nulo) e o grau do quociente é DIFERENTE de m - n. Logo, esta afirmação é falsa.

Continuo entendendo que o enunciado deixa a desejar.

Olá Elcioschin,

Obrigado pela explicação.
Boa noite.