Inequação (função modular)

Resolva a inequação:



Gabarito:

1) x² + x + 1 é sempre positiva (Δ < 0), então:

| x² + x + 1 | = x² + x + 1

2) x² +2x - 3 é negativa ou nula para -3 ≤ x ≤1, então:

a) Para x em [-3; 1]:

| x² +2x - 3 | = -(x² +2x - 3) = - x² - 2x +3

x² + x + 1 ≤ - x² - 2x +3

2x² + 3x - 2 ≤ 0

Cuja interseção com:

[-3; 1]

Resulta:

S1 = [-2; 1/2]

b) Para x em (-∞; -3) ou (1; +∞):

| x² +2x - 3 | = x² +2x - 3

x² + x + 1 ≤ x² +2x - 3

4 ≤ x

Que intercedido com:

(-∞; -3) ou (1; +∞)

Resulta em:

S2 = [4; +∞)

Unindo as soluções:

S = S1 U S2
S = [-2; 1/2] U [4; +∞)

4) Ou então, mais abreviado:

| x² + x + 1 | ≤ | x² +2x - 3 |

(x² + x + 1)² ≤ (x² +2x - 3)²

x² + x + 1 ≤ ±(x² +2x - 3)

...