Retas Suporte de Medianas no Triângulo

por Leandro Blauth Sex 23 Dez 2011, 14:33

Gostaria que me mostrassem uma alternativa de resolução da seguinte questão:

(FGV) Num triângulo ABC são conhecidos o
vértice A = (3,5) e as retas y − 1 = 0 e x + y − 4 =
0, suportes de duas medianas do triângulo. A reta
que passa pelos vértices B e C tem equação:

Segundo o gabarito, a resposta seria x + 2y − 1 = 0

Acabei de resolver ela, porém duvido muito que tenha sido de um jeito adequado: fiz o gráfico em escala, usando de certa arbitragem, e o analisei. Se não houver um jeito melhor, tudo bem.

por Jessé de Jesus Sex 23 Dez 2011, 16:11

Olá fiz um desenho que pode te ajudar:

Retas Suporte de Medianas no Triângulo Fgv

$\\\text{Como y-1=0 é uma mediana do triângulo, m é ponto médio de AC.}\\\\y_m=\frac{y_a+y_c}{2}\to 1=\frac{5+y_c}{2}\therefore y_c=-3\\\\x+y=4 \; \text{passa por C. Então:}\\\\x_c+y_c=4\to x_c-3=4\therefore x_c=7\\\\\text{Agora, vamos ao ponto B.}\\\\\text{As medianas se interceptam no baricentro do triângulo. E esse encontro acontece no ponto (3;1)}\\\text{O ponto B está contido na reta y-1+0, então sua ordenada vale 1. Para o baricentro:}\\\\x_G=\frac{x_a+x_b+x_c}{3}\to 3=\frac{7+(-3)+x_b}{3}\therefore x_b=-1.\\\\\text{Pronto! Agora já temos os dois pontos de que precisávamos B(1;-1) e C(7;-3)}\\\\\begin{vmatrix} x & y &1 \\ 7 & -3 &1 \\ -1& 1 & 1\end{vmatrix}=0\hspace{40}\text{Resolvendo esta bagaça teremos a sua maravilhosa reta!}\\\\\\\fbox{x+2y-1=0}\\\\\\\text{Tomara que te ajude!}$