Relações Fundamentais

por sd266 Qui 15 Dez 2011, 23:44

Obtenha tgx, sabendo que sen²x-5.senx.cosx+cos²x=3

Gabarito :tgx= -1/2 ou tgx= -2

por **abelardo** Sex 16 Dez 2011, 00:37

$\\ \sin^2x-5\cdot \sin x \cdot \cos x+\cos^2 x=3 \\ \frac{\sin^2x-5\cdot \sin x \cdot \cos x+\cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x}=\frac{3}{\sin x \cdot \cos x} \\\\ \frac{\sin^2x}{\sin x \cdot \cos x}-\frac{5\cdot \sin x \cdot \cos x}{\sin x \cdot \cos x}+\frac{\cos^2 x}{\sin x \cdot \cos x}=\frac{3}{\sin x \cdot \cos x} \\\\ \frac{\sin x}{\cos x}-5+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{3}{\frac{\sin 2x}{2}} \\\\ \tan x+\frac{1}{\tan x}-5=\frac{6}{\sin 2x}$

Temos que:
$\\ \sin2x=2\cdot \sin x \cdot \cos x \\ \sin2x=2\cdot \sin x \cdot \frac{\cos^2x}{\cos x} \\\\ \sin2x=2\cdot \frac{\sin x}{\cos x} \cdot\cos^2 x \\\\ \sin2x=2\cdot \tan x \cdot\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}} \\\\ \sin2x=\frac{2\cdot \tan x}{\frac{1}{\cos^2 x}} \\\\ \sin2x=\frac{2\cdot \tan x}{\sec^2 x} \\\\ \sin^2 x=\frac{2\cdot \tan x}{1+\tan^2x}$

Voltando a expressão original:

$\\ \tan x+\frac{1}{\tan x}-5=\frac{6}{\frac{2 \cdot \tan x}{1+\tan^2 x}} \to \tan x = y \\\\y+\frac{1}{y}-5=\frac{6+6y^2}{2y} \\\\y^2+1-5y=\frac{6+6y^2}{2}$

O resto é contigo. Resolve a equação do 2º grau e depois substitui o(s) valor(es) em tan x. Acredito, e como acredito, que haja uma forma bem mais simples de resolver.

por sd266 Sex 16 Dez 2011, 09:42

Obrigado abelardo pela ajuda .
vou fazer a questão obrigado mesmo .

por **Elcioschin** Sex 16 Dez 2011, 12:04

Outra solução mais rápida:

(sen²x + cos²x) - 5*senx.cosx = 3 ----> 1 - 5*senx.cosx = 3 ----> -5.senx.cosx = 2 ---->

25*sen²x.cos²x = 4 ----> 25.sen²x.(1 - sen²x) = 4 ----> 25*(sen²x)² - 25*sen²x + 4 = 0

Raízes:

sen²x = 4/5 ----> senx = + - 2*\/5/5

sen²x = 1/5 ----> senx = + - \/5/5

1) Para senx = + - 2*\/5/5 ----> cosx = + - \/5/5

2) Para senx = + - \/5/5 ----> cosx = + - 2*\/5/5

Agora calcule as tangentes

por sd266 Sex 16 Dez 2011, 23:36

Elcioschin vlw pela segunda resolução achei o método que você fez bem mais facíl e menos trabalhoso a primeira solução eu fiz mais deu muito trabalho mas vou refazer a questão por essa resolução .
Obrigado pela ajuda

por sd266 Sáb 17 Dez 2011, 12:53

Elcioschin tem como me dizer como você obteve o cosx =+ - V5/5 e 2*V5/5 ?
Se substitui na equação -5.senx.cosx=2 ?

por **Euclides** Sáb 17 Dez 2011, 13:36

sd266 escreveu:Elcioschin tem como me dizer como você obteve o cosx =+ - V5/5 e 2*V5/5 ?
Se substitui na equação -5.senx.cosx=2 ?

$\\sen^2x=\frac{4}{5}\;\;\to\;\;senx=\pm\sqrt{\frac{4}{5}}\;\;\to\;\;senx=\pm2\sqrt{\frac{1}{5}}\;\to\;senx=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$

por **Elcioschin** Sáb 17 Dez 2011, 21:18

Eu usei a relação famosa sen² + cos²x = 1 (que, aliás, usei na minha mensagem original)

Tente !!!

por vinitdasilva Qui 22 maio 2014, 15:26

Para esses valores de seno e cosseno, quando eu fizer a divisão para obter a tangente, a resposta poderá ser +-1/2 ou +-2.

Porém, a solução correta é -2 e -1/2. Como resolve esse problema?

por **Elcioschin** Qui 22 maio 2014, 18:20

Veja o que está escrito na minha solução, no final ---> -5.senx.cosx = 2

Para o 1º membro ser positivo (igual ao segundo) o sinal de senx deve ser diferente do sinal de cosx

Isto acontece no 2º ou 4º quadrantes e, nestes quadrantes a tangente de x é negativa